2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值学案.docx

23.1离散型随机变量的均值1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值2.理解离散型随机变量均值的性质3会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题1离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)性质：如果X为离散型随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)E(aXb)aE(X)B随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是 一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值2两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p(p为成功概率)(2)若XB(n，p)，则E(X)np 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4.()答案：(1)(2)(3) 若XB，则E(X)的值为()A4B2C1 D.答案：B 随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A2 B2.1C2.3 D随m的变化而变化答案：B 设X的分布列为X1234P，Y2X5，则E(Y)_答案：探究点1求离散型随机变量的均值赌博有陷阱某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(1)E(2)_元【解析】赌金的分布列为112345P所以E(1)(12345)3.奖金的分布列为21.42.84.25.6P所以E(2)1.42.8.E(1)E(2)0.2.【答案】0.2求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值(2)求概率：求X取每个值的概率(3)写分布列：写出X的分布列 (4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在1.(2018广东广州模拟)已知某一随机变量的分布列如下表所示，若E()6.3，则a的值为()a79Pb0.10.4A.4B5C6 D7解析：选A.根据随机变量的分布列可知b0.10.41，所以b0.5.又E()ab70.190.46.3，所以a4.2某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望解：(1)P(当天商店不进货)P(当天商店销售量为0件)P(当天商店销售量为1件).(2)由题意知X的可能取值为2，3，P(X2)P(当天商品销售量为1件)，P(X3)P(当天商品销售量为0件)P(当天商品销售量为2件)P(当天商品销售量为3件).故X的分布列为X23P所以X的数学期望为E(X)23.探究点2离散型随机变量均值的性质已知随机变量X的分布列为：X21012Pm(1)求E(X)；(2)若Y2X3，求E(Y)【解】(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，所以E(X)(2)(1)012.(2)法一：由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)32()3.法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1. 变问法本例条件不变，若aX3，且E()，求a的值解：E()E(aX3)aE(X)3a3，所以a15. 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量与X的关系为aXb，a，b为常数一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E()也可以利用X的分布列得到的分布列，关键由X的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E() 已知随机变量的分布列为101Pm若a3，E()，则a()A1 B2C3 D4解析：选B.由分布列的性质得m1，所以m，所以E()101，法一：E()E(a3)aE()3a3.所以a2.法二：因为a3，所以的分布列如下：a33a3PE()(a3)3(a3).所以a2.探究点3两点分布与二项分布的均值某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到抽奖券四张每次抽奖互不影响(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X，求随机变量X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y(元)，用X表示Y，并求随机变量Y的均值.【解】(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，因此XB.所以P(X0)C，P(X1)C.P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C.所以离散型随机变量X的分布列为X01234P(2)因为XB，所以E(X)42.又由题意可知Y2 300100X，所以E(Y)E(2 300100X)2 300100E(X)2 30010022 100(元)即所求随机变量Y的均值为2 100元 (1)如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)p(p为成功概率)(2)如果随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np.以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求2时的概率；(2)求的数学期望解：(1)依题意知：2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故2时的概率PC()2()2.(2)法一：的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P(k)C()k()4k(k0，1，2，3，4)所以的概率分布列为01234P所以E()01234.法二：因为服从二项分布，即B(4，)，所以E()4.探究点4均值问题的实际应用(2016高考全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19. (1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计 (2)概率模型的解答步骤审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解：(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X3”为事件A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5).所以这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知得X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)2，所以E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大1口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为()A.B.C2 D.解析：选D.X可能取值为2，3.P(X2)，P(X3).所以E(X)232.2毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的记为小王得到面试的公司个数若0时的概率P(0)，则随机变量的数学期望E()_解析：由题意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列为012Pp由p1，得p.所以E()012p.答案：3某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由解：设该选手在A区投篮的进球数为X，则XB，故E(X)2.则该选手在A区投篮得分的期望为23.6，设该选手在B区投篮的进球数为Y，则YB，故E(Y)31，则该选手在B区投篮得分的期望为313，因为3.63，所以该选手应选择在A区投篮知识结构深化拓展对离散型随机变量的均值的理解(1)均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的，分布列中随机变量X的一切可能值xi与对应的概率P(Xxi)的乘积的和就叫做随机变量X的均值(2)由于离散型随机变量X的每一种可能取值的概率满足i1，因而离散型随机变量X的均值E(X)是以概率pi为权数的加权平均(3)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的，但二者大有不同分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值建立在分布列的基础之上，它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置., A基础达标1已知B(n，)，B(n，)，且E()15，则E()等于()A5B10C15 D20解析：选B.因为E()n15，所以n30，所以B(30，)，所以E()3010.2设的分布列为1234P又设25，则E()等于()A. B.C. D.解析：选D.E()1234，E()E(25)2E()525.3某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数的均值是()A. B.C. D.解析：选B.试验次数的可能取值为1，2，3，则P(1)，P(2)，P(3)().所以的分布列为123P所以E()123.4两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)()A. B.C. D.解析：选B.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有329(种)情况则投入A邮箱的信件数X的概率P(X2)，P(X1)，所以P(X0)1P(X2)P(X1).所以离散型随机变量X的分布列为X012P所以E(X)012.故选B.5甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3则甲、乙两人的射击技术是()A甲更好 B乙更好C甲、乙一样好 D不可比较解析：选B.因为E(X1)10.420.130.52.1，E(X2)10.120.630.32.2，所以E(X2)E(X1)，故乙更好些6某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖有一个选手选对任一题的概率都是0.8，则该选手可能拿到_等奖解析：选对题的个数X服从二项分布，即XB(30，0.8)，所以E(X)300.824，由于245120(分)，所以可能拿到二等奖答案：二7体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是_解析：由已知条件可得P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得p或p，又由p(0，1)，可得p(0，)答案：(0，)8某日A、B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)_解析：设A、B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1p)210.36，解得p0.2或p1.8(舍去)，则P(X0)10.360.64，P(X1)20.80.20.32，P(X2)0.20.20.04，所以E(X)00.6410.3220.040.4.答案：0.49已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200，300，400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.10(2018陕西西安长安一中高二下学期期中)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与均值解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i1，2，13)依据题意P(Ai).(1)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P(B).(2)离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以随机变量X的分布列为X012P所以随机变量X的均值为E(X)012.B能力提升11某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P1.(2)由题意知X0，1，2，P(X0