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文档简介

圆心角定理,颐和中学,复习回忆,1:垂径定理的内容是什么? 2:垂径定理的推论内容是什么? 3:圆的对称性,过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,A,B,顶点在圆心的角,叫圆心角, 如 ,所对的弦为AB;,图1,OM是唯一的。,则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离,叫弦心距 , 图1 中,OM为AB弦的弦心距。,1、判别下列各图中的角是不是圆心角, 并说明理由。,2、下列图中弦心距做对了的是( ),任意给圆心角,对应出现四个量:,圆心角,弧,弦,探究:,疑问:这四个量之间会有什么关系呢?,弦心距,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下:在O中有哪些圆心角?(请举出两个例子,并说出圆心角所对的弧,弦。),如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,A,B,C,D,o,下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?,如果: AOB= COD,证明:OA=OC ,OB=OD, AOB=COD, 当点A与点C重合时, 点B与点D也重合。 AB=CD,,圆心角定理:在同圆中, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。,已知:如图AOB= COD, 求证: AB=CD,,AB = CD。,如图,O 和O 是等圆, 如果 AOB= AOB 那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM, 为什么?,?,?,?,对于等圆的情况 ,因为两个等圆可叠合成同圆,所以等圆问题可转化为同圆问题,命题成立。,圆心角定理 : 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。,图 5,条件,结论,在同圆或等圆中 如果圆心角相等,那么,圆心角所对的弧相等,圆心角所对的弦相等,圆心角所对的弦的弦心距相等,圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.,由条件: AOB=AOB,AB=AB, OD=OD,请大家思考一下这个定理的逆命题,推论:(圆心角定理的逆定理) 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。,1、已知:如图,AB、CD是O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空: (1)如果AB=CD,那么 _,_,_。 (2)如果OE=OF,那么 _,_,_。 (3)如果AB=CD 那么 _,_,_。 (4)如果AOB=COD,那么 _,_,_。,AOB=COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,巩固练习:,(1)圆心角定理中能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件吗?,同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧,一般选择劣弧。 这两个结论都是错误,首先CE、FD不是弦,CEA、BFD不是圆心角,就不可以用圆心角定理推论证明。,2、如图. AB是O的直径 BC=CD=DE,COD=35,求AOE的度数.,证明: BC=CD=DE COB=COD=DOE=35 AOE=1800-COB-COD-DOE =750,证明: AB=AC AB=AC,ABC是等腰三角形 又 ACB=60 ABC是等边三角形,AB=BC=CA AOB=BOC=AOC,如图,在O中,AB=AC,ACB=60, 求证AOB=BOC=AOC.,例题:,1、已知:如图,AB、CD是O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空: (1)如果AB=CD,那么 _,_,_。 (2)如果OE=OF,那么 _,_,_。 (3)如果AB=CD 那么 _,_,_。 (4)如果AOB=COD,那么 _,_,_。,AOB=COD OE=OF AB=CD,AOB=COD AB=CD AB=CD,AOB=COD AB=CD OE=OF,巩固练习:,已知:如图,点P在O上,点O在EPF的平分线上, EPF的两边交O于点A和B。 求证:PA=PB.,基础练习,已知:如图,点O在EPF的平分线上,O和 EPF的两边分别交于点A,B和C,D。 求证:ABCD,变式1,已知:如图, O的弦AB,CD相交于点P,DPO= BPO 。 求证:ABCD,变式2,已知:如图, O的弦AB,CD相交于点P,过P、O的直径为MN,APO= CPO 。 求证:PBPD,变式3,做一做,2.已知:如图,在中,弦 求证:,变式: 圆O中弦AB、CD相交于E,且AB=CD 求证:DE=BE 证:连接DB,3、已知:如图, O的两条半径OAOB,C、D是弧AB的三等分点。 求证:CDAEBF。,继续提高,弧、弦、弦心距之间的不等量关系,一.在同圆或等圆中,是不是弧越长,它所对的弦越长?是不是弦越长,它所对的弧越长? 判断 1.若两弦相等,则它们所对的弧相等。( ) 2.若两弧不等.则大弧所对的圆心角较大。( 3.长度相等的两条弧是等弧。( ) 二.AB和CD是O的两条弦,OM和ON分别是AB和CD的弦心距,如果ABCD,那么OM和ON有什么关系?为什么?,O中,如果弧AB=2弧BC,那么下列说法中正确的是( ) A. AB=BC B. AB=2BC C. AB2BC

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