2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案.docx

221椭圆及其标准方程1了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程2掌握椭圆的定义与标准方程3通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点F1，F2(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|(4)几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且2a|F1F2|(1)在椭圆的定义中，注意到两定点的距离之和为定值，且“常数”大于两定点之间的距离(2)椭圆的定义的双向运用：一方面，符合定义条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数) 2椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c，0)(0，c)a，b，c的关系a2b2c2标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2()答案：(1)(2)(3) 设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5C8 D10答案：D 已知两焦点坐标分别为(2，0)和(2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为()A1 B1C1 D1答案：C 椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12) 已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围为_答案：探究点1求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)【解】(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为x21(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知：2a2，即a又c2，所以b2a2c26所以所求的椭圆的标准方程为1(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，因为点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，所以代入椭圆的方程得所以所以椭圆的标准方程为1求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程 (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)过点(3，2)且与椭圆1有相同的焦点解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26，2c10，所以a13，c5所以b2a2c2144所以所求椭圆的标准方程为1(2)已知椭圆1中a3，b2，且焦点在x轴上，所以c2945设所求椭圆方程为1(0)则1解得10或2(舍)，故所求椭圆的标准方程为1探究点2椭圆定义的应用已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积【解】在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|由得|PF1|PF2|4所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 601变条件若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积解：由椭圆1知|PF1|PF2|4，|F1F2|6，因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|236，所以|PF1|PF2|6，所以SF1PF2|PF1|PF2|32变条件若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2的面积解：由已知得a2，b，所以c3从而|F1F2|2c6在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|236，又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|从而有(4|PF1|)2|PF1|236，解得|PF1|所以PF1F2的面积S|PF1|F1F2|6，即PF1F2的面积是椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|F1A|F1B|，所以在F2AB中，|F2A|F2B|AB|4a20，又|F2A|F2B|12，所以|AB|8答案：8探究点3求与椭圆有关的轨迹方程如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程【解】设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 已知B，C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4，0)，C(4，0)由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，c4，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169所以点A的轨迹方程为1(y0)1已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3，0)，点(0，3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A1B1C1 D1解析：选D由题意可得解得故椭圆的方程为12已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m_解析：由4(m0)，解得m3答案：33若方程1表示椭圆，则m满足的条件是_解析：由方程1表示椭圆，知解得m且m1答案：4已知椭圆1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0，1)，且3a24b2(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解：(1)依题意，知c1，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2a21，即a21所以a24，b23，故椭圆的标准方程为1(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cosF1PF2故F1PF2的余弦值等于 知识结构深化拓展1椭圆的定义条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2焦点三角形中常用的关系式(1)|PF1|PF2|2a(2)SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2(3)|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(4)|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|学生用书P105(单独成册)A基础达标1平面内，若点M到定点F1(0，1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆 B直线F1F2C线段F1F2 D直线F1F2的垂直平分线解析：选C由|MF1|MF2|2|F1F2|知，点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F22已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，所以c因为2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，所以a2，所以b2a2c29故椭圆C的标准方程是1或13“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3mb0)，根据ABF2的周长为16得4a16，则a4，因为ac，所以c2，则b2a2c21688故椭圆的标准方程为1答案：19求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，2)，(0，2)，经过点(4，3)解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4，2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a12，解得a6又c2，所以b4所以椭圆的标准方程为1法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以1又c2a2b24，可解得a236，b232所以椭圆的标准方程为110设F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，当a2b时，点P在椭圆上，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，求椭圆方程解析：因为a2b，b2c2a2，所以c23b2又PF1PF2，所以|PF1|2|PF2|2(2c)212b2，由椭圆定义可知|PF1|PF2|2a4b，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12b2416b2，所以b21，a24所以椭圆方程为y21B能力提升11已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13 D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|12712已知F1、F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为_解析：如图由1，知a29，b27，c22所以a3，b，c所以|F1F2|2设|AF1|x，则|AF2|6x因为AF1F245，所以(6x)2x284x所以x所以SAF1F22答案：13如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由已知得c1，|F1F2|2，所以4|PF1|PF2|2a，所以a2，所以b2a2c2413，所以椭圆的标准方程为1(2)在PF1F2中，|PF2|2a|PF1|4|PF1|由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即(4|PF1|)2|PF1|242|PF1|，所以|PF1|，所以SPF1F2|F1F2|PF1|sin 120214(选做题)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，1)(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|PF2|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点，且1 1，求的值；(3)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的