大学物理课件9量子力学.ppt

,第十九章 量子力学基础,提示,量子力学是描述微观粒子运动的基本理论，是近代物理学两大理论支柱之一。,量子力学基本概念与原理,在势阱、原子结构等方面应用,量子力学既适用于微观世界，也适用于宏观世界，经典物理学是其近似。,相对论量子力学和非相对论量子力学。这里介绍非相对论量子力学基础。,一、波函数(wave function),写成复数形式,1. 平面简谐波的波函数,对振幅A、频率、波长沿 x 轴传播平面波,式中, 波矢, 角频率；,一般形式,2.自由粒子波函数,对能量E 、动量 实物粒子有,由波粒二象性，比照平面波波函数，得到,自由粒子状态波函数， 是振幅。,1o 波函数是波（ ）、粒（p , E）二象性统一,可以描述粒子状态，也称为态函数。这是量子力学的基本原理（假设）之一。,2o 在随时间和位置变化力场空间里的粒子，其波函数要复杂一些，这时k、随时间空间变化,二、波函数的统计解释,1.玻恩统计解释, 在空间的某一点波函数模的平方和该点找到 粒子的几率成正比。, 德布罗意波不代表实在的物理量波动，而是 刻画粒子在空间的概率分布的概率波。,粒子性:某处明亮则某处光子多, 即 N大,波动性:某处明亮则某处光强大, 即 I 大,I大，光子出现概率大；,I小，光子出现概率小。,光子数 N I A2,2.数学表示,t 时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。即,t 时刻在 端点附近d内发现粒子的概率为：,这是玻恩给出 的统计解释。, 不同于经典波的波函数，,它无直接的,。,对单个粒子：,给出粒子的概率密度分布；,对N 个粒子：,给出粒子数的分布。,三、波函数的要求,波函数的有限性：,根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。,波函数的归一性：,根据波函数统计解释，在空间各点的概率总和必须为1。,注意：若,归一化因子,则,波函数的单值性：,根据统计解释，要求波函数单值，从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。,势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的,波函数的连续性：,对波函数作出的统计解释，获得1954年诺贝尔物理学奖。,一、例子分析 电子衍射,1.电子双缝干涉实验,只开上缝 P1,只开下缝 P2,双缝 齐开 P12=P1+P2,（1）子弹穿过双缝,（2）光波,只开上缝 光强 I1,只开下缝 光强 I2,双缝 齐开,双缝 齐开时的光波为,光强为,+干涉项,通过上缝的光波为,通过下缝的光波为,（3）电子,电子通过双缝后，其分布类似光波情况,而不是子弹情况。,电子的状态用 波函数 描述,只开上缝时, 电子有一定的概率通过上缝,其状态用 描述,只开下缝时, 电子有一定的概率通过下缝,电子的概率分布为,其状态用 描述,电子的概率分布为,双缝 齐开时,电子可通过上缝也可通过下缝 通过上、下缝各有一定的概率,总的概率幅为,即使只有一个电子，当双缝齐开时,它的状态就要用 来描述,2.电子一般衍射情况,衍射前：,电子状态用确定的动量和能量的单色平面波（自由粒子波函数 ）描述。,衍射后：,电子状态 表示为 p 取各种可能值的平面波的线性叠加,这是许多p 平面波相干叠加的结果。,二、态迭加原理,如果一个量子体系的互异可能状态为,也是这个体系的一个可能状态。其中Cn2为该体系处于n状态的概率。,cn是复数,则它们的线性叠加,若叠加中各状态间的差异无穷小，,积分代替求和：,则应该用,对自由粒子的平面波体系，可以取,则任意波函数可以看作不同动量平面波叠加。, 态叠加原理是粒子波动性体现，是量子力学基本原理之一。,其中,对一维情况，有,薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学,获1933年诺贝尔物理学奖,问题提出,经典粒子,微观粒子,薛定谔方程,一、薛定谔方程建立,1.自由粒子的薛定谔方程,对自由粒子，波函数是：,微分,得到方程,同样,引入拉普拉斯算符,利用,自由粒子薛定谔方程。,得到,2.算符规则,作用一个函数而得到另一个函数运算符号,能量算符：,能量算符,动量算符：,动量算符,其中哈密顿算符,3. 粒子薛定谔方程,在势能为 力场中，粒子能量是,相应哈密顿算符为,薛定谔方程,4.多粒子体系,二、薛定谔方程的特点,对N个粒子体系，有,10 薛定谔方程是时间的一次微分方程，而牛顿方 程是二次方程,20 波函数无直接物理意义，虽是复函数，并不影 响薛定谔方程结果的物理意义。,30 薛定谔方程的建立引用了经典结果，是非相对 论结果。且方程不适合 质量m = 0 的结果。,40 薛定谔方程的解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,主要原因在于薛定谔方程是线性偏微分方程。,定态：,能量具有确定值的状态（与t无关）,左边是 t 的函数，右边是 函数，则满足,可以分离变量。,与 t 无关，,常数,满足的方程为,定态薛定谔方程,由时间微分方程解得,数学上看：,E 为何值该方程都有解。,满足波函数的条件（单值、有限、连续、归一）,物理上看：,特定的E 值称为能量本征值。,10,E 只有取一些特定值该方程的解才能,这些特定的E值所对应的波函数称为：能量本征函数。,这一方程又称为：能量本征值方程。,这一波函数所描述的量子态称为定态。,20对自由粒子，V = 0，一维情况下，方程为：,其解为,这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。,20对应于能量算符第n个本征值En的本征函数,体系的相应本征波函数是,则一般薛定谔方程的通解是,式中cn是常系数。,势阱：,粒子所受力场满足,其势能曲线象一个无限深的阱，称为无限深势阱，a是势阱宽度。,势阱外：,一、本征波函数求解,势阱内:,粒子不能跑到外面，故,方程的通解为,令,由连续性条件：,粒子能量满足,相应的波函数是,由归一化条件：,二、讨论,1. 能量的量子化,能量最小值不是零，且不连续；,势阱尺度是原子大小时，不连续才表现明显。,2. 驻波理解,节点的位置：,n = 1时 , 节点位置是 x = 0 , a,驻波形成：,根据波的叠加思想,视为两个反向传播的平面波合成。,例如：,n = 2时 , 节点位置是 x = 0 , a/2 ，a,3. 粒子位置的几率分布,wmax = 2/a,几率密度是,10 极值情况,极大：节点间中心位置,极小：节点处， ，wmin= 0,20 宏观粒子位置几率均匀，n的微观情况。,一、隧道效应和势垒贯穿 （tunneling effect and barrier penitration),粒子所受力场满足,设微观粒子有一定能量 E (设0 E V0 )，,这种势场结构称为势垒。,粒子能否穿过势垒？,粒子能够穿过大于其动能的势垒的现象，称 为隧道（贯穿）效应,粒子波函数的薛定谔方程是,P、S区,Q区,令,对 V0 E 时，k1、k2 是正的实数，则,P、S区,Q区,在P区，波函数是,在Q区，波函数是,在S区，波函数是,S区内无反射波，,C0。故,隧道二极管（略）,扫描隧穿显微镜,若 m、a、(V0- E) 越小，则穿透率 D 越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,例如： 放射性核的 粒子释放（略）,定义势垒的透射系数是,二、扫描隧穿显微镜（STM）,STM(Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面 原子情况的 超高倍显微镜。,原理:,隧道电流 I 与 样品和针尖间 的距离S 关系极为敏感。,s 样品和针尖间的距离 U 加在样品和针尖间的微小电压 A 常数 平均势垒高度,定量关系：,1994年中国科学院真空物理实验室的研究人员利用表面原子操纵方法，通过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的线条。从STM获得的照片上可以看到这些线条形成“100”字样和硅原子晶格整齐排列的背景。,中国科学院化学研究所的科技人员利用自制的扫描隧道显微镜，在石墨表面上刻蚀出来的图象,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是 1932年电子显微镜的发明者，以追朔他们的功劳。,图示镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的 扫描隧道显微镜照 片。48 个 Fe 原子 形成“电子围栏”，,微观粒子的势能函数是,形成线性谐振子，薛定谔方程是,能量量子化、能级等间距。,能量间隔 h 与黑体辐射同。,有零点能。,其中：,几个假设：,(1)原子核视为静止不动，单体问题。,(2)势能 与时间无关，定态问题。,(3)E 0 ，束缚态。,一、氢原子的薛定谔方程,电子薛定谔方程是,考虑球坐标系，利用坐标关系,分离变量，有,整理含有,三个常微分方程,式中l、ml 均为常数，求解时仍应满足标准条件和归一化条件。,1.主量子数和能量量子化,二、量子化结果,E 0 ，束缚态；能量是分立的，称为分立譜。,n = 1, 2, 称为主量子数,与玻尔理论一致。,2、角量子数和角动量量子化,l = 0, 1, 2, , n-1 称为角量子数,l 决定电子绕核运动角动量，角动量量子化。,上式有满足要求的解的条件是,决定电子的轨道。,l 0，电子穿过原子核， 经典理论不能解释。,l n1，接近于经典理论的结果。,3.磁量子数和空间量子化,称为磁量子数,要求电子角动量L在 z 方向投影Lz满足,角动量 在空间的取向只有(2l+1)种可能性，称为角动量空间取向量子化。,l = 2，,只有五种可能的取向。,例如：,空间量子化的意义：,由同一个 n 和 l 表征的微观态，又有（2l+1）个可能的不同运动取向，即（2l +1）个不同的量子态。,一、斯特恩-盖拉赫实验(Stern-Gerlach experiment),1.电子轨道磁矩(orbital magnetic moment),电子运动等效于圆周运动，则,由量子理论，角动量是量子化的,2.原子磁矩,设磁场沿 z 轴方向，原子所受磁力的大小为,在不考虑原子核磁矩时，原子磁矩是各个电子磁矩的矢量和。,（z 是磁矩的z方向分量）,3.斯特恩-盖拉赫实验,实验装置如图。,银原子束发生偏转。,银原子磁矩的量子化导致偏转量子化。,二 、电子自旋（ electron spin ）,斯特恩(O.Stern,美）1943年获诺贝尔物理奖。,银原子最外层只有一个电子，且处于基态，电,子角动量是零，磁矩亦是零，,为什么有原子束偏转？,1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和古兹米特（S. Goudsmit）提出了大胆的假设：,电子带负电，磁矩的方向和自旋的方向应相反。,这一经典图象受到泡利的责难。,按,若把电子视为r =10 -16 m的小球，,计算出的电子表面速度 C !,面对按经典图象的理解所给出的“荒谬”结果，,乌、古二人(当时不到25岁)曾想撤回自旋的论文，,“You are both young enough to allow yourselves some foolishness!”,但是他们的导师埃伦菲斯特(P.Ehrenfest)鼓励道：,轨道角动量,自旋角动量,s 自旋量子数，,mS 自旋磁量子数,根据量子力学，角动量是量子化的：,l = 0, 1, 2(n-1),自旋虽然不能用经典的图象来理解，但仍然和角动量有关。,相对论量子力学得出：,“自旋”不是一个经典的概念。,电子自旋是电子的一种 “内禀” 运动，,不能视为小球自转。, 玻耳磁子 （Bohr magneton）,自旋和物理学的三个方面有关: 经典的转动概念 角动量量子化 狭义相对论 杨振宁: “自旋”, 自然杂志 6 (1983), 247,氢原子的状态必须用四个量子数 才能完全确定。,主量子数 决定电子的能量。,角量子数 决定电子轨道角动量,磁量子数 决定轨道角动量 的空间取向，,自旋磁量子数 决定自旋角动量的空 间取向， 。,为正时，称为自旋向上。,为负时，称为自旋向下。,综合,例1.,若描写状态的波函数为,求：归一化波函数,解：,由归一化条件,利用积分公式：,归一化波函数为：,例2.,氢原子外电子的基态波函数为,其中：C，为常数，r 为电子离核的距离。求：,1归一化波函数;,2在核外厚度为dr的球壳内找到电子的几率;,3电子几率密