2020版高考数学复习专项五突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题理北师大版.docx

突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,点P1,32在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C,D两点,A,B分别为椭圆M的左、右顶点,记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,有|MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为e=12.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知N(4,0),过点N作斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l,记l的纵截距为m,求m的取值范围.3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆C:x2+2y2=1的左右顶点分别为A1,A2.(1)求椭圆C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点M,直线A1Q与A2P交于点N.求证:直线MN垂直于x轴.4.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线C1:y2=2px(p0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设FMN,FON的面积分别为S1,S2,若S1=S2,求的取值范围.5.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与直线y=22x-22相切,设椭圆的上顶点为M,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且MF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l过点N0,-23交椭圆于A,B两点,直线MA、MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T两点,求证:O,S,T三点共线.6.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.参考答案高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为e=ca=12,椭圆M过点P1,32,所以c=1,a=2.所以椭圆M方程为x24+y23=1.(2)当直线l无斜率时,直线方程为x=1,此时C1,-32,D1,32,ABD,ABC面积相等,|S1-S2|=0;当直线l斜率存在(显然k0)时,设直线方程为y=k(x-1),设C(x1,y1),D(x2,y2).由x24+y23=1,y=k(x-1),消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然0,方程有根,且x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=12|k|3+4k2,因为k0,则上式=123|k|+4|k|1223|k|4|k|=12212=3k=32时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为3,所以0|S1-S2|3.2.解 (1)因为|MF1|+|MF2|=4,所以2a=4,所以a=4.因为e=12,所以c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-4),x24+y23=1,消去y得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2=32k24k2+3,x1x2=64k2-124k2+3,又=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)0,解得-12k12,故0k0恒成立,所以m=4k4k2+3在k0,12上为增函数,所以0m0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d=b2=2,得b=22,所以l:x-y+22=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p2=0,其=4p2-162p=0得p=42,C1:y2=82x.综上所述,l:x-y+22=0,C1:y2=82x.(2)不妨设k0,根据对称性,k0得到的结论与k0,又知p0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+b,y2=2px,消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由=4(kb-p)2-4k2b2=0,得p=2kb,Mp2k2,pk,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d=b1+k2=2,得b=21+k2,则p=4k1+k2,故M21+k2k,41+k2.由y=kx+b,x2+y2=4,得N-2k1+k2,21+k2,故|MN|=1+k2|xM-xN|=1+k221+k2k+2k1+k2=4k2+2k.Fp2,0到l:kx-y+b=0的距离d0=pk2+b1+k2=2k2+2,所以S1=SFMN=12|MN|d0=2(2k2+1)(k2+1)k,又因为S2=SFON=12|OF|yN|=2k,所以=S1S2=(2k2+1)(k2+1)k2=1k2+2(k2+1)=2k2+1k2+322+3,当且仅当2k2=1k2即k=142时取等号,与上同理可得,k0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=83k1+2k2,x1x2=-6491+2k2,又M(0,2),MAMB=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+kx1-83kx2-83=(1+k2)x1x2-83k(x1+x2)+649=-6491+k21+2k2-649k21+2k2+649=649-1+k2+k21+2k2+1=0.MAMB,SMT=2.圆的直径为椭圆的短轴,圆心为原点O,点O,S,T三点共线.6.解 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=ca=1a=33,所以a=3,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.(2)当直线BD的斜率k存在且k0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x23+y22=1,化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,|BD|=1+k|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+2.易知直线AC的斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2=43(k2+1)2k2+3,|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)203(k2