《医学第七章》PPT课件.ppt

图7-1 (a)单一电容器电路 （b）用戴维南定理简化 （c）用诺顿定理简化,对图b，应用KVL可得：,（7-1）,（7-2）,将（7-2）式代入（7-1）式可得：,对图c，应用KCL可得：,（7-3）,（7-4）,（7-7）,电容电压和电感电流为电路的状态变量，因而方程（7-3）、（7-4）、（7-5）和（7-6）称为电路的状态方程。 若以泛指状态变量，x泛指电路的输入，则状态方程可归纳为下列的标准形式：,（7-8）,的解由两部分构成，即,（7-11）,（7-12）,代入原方程(712)式，得,除以,得,(715),称为微分方程的特征根或固有频率。因此,K为任意常数，可由初始条件确定。,(713),(714),(715)式称为特征方程，其解,(716),(717),设解为,输入函数 x(t) 的形式,的形式,特解,C,_,+,a,b,+,_,零状态响应,零输入响应,图 7-3,由KVL和电容的伏安关系有,可得,电容的初始电压为,（7-20）满足初始条件（7-21）的解为,式中1/RC为特征方程,的根。电容放电电流i(t)为,(7-24),(7-23),(7-22),(7-21),(7-20),图7-4 RC电路电容放电时,随时间变化的曲线,0,i,t,图7-4 RC电路电容放电时电流随时间变化的曲线,图7-6 RL电路,电路方程为,设初始条件,(7-25),(7-26),解得,(7-27),其中,为该电路的时间常数。电感电压,则为,(7-28),0,图7-7 RL电路 和 随时间变化的曲线,零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。初始状态是电容电压和电感电流的初始值，电路特性对一阶电路来讲是通过时间常数 来体现的。,例7-3 电路如图7-10所示，已知R1=9、R2=4 、R3=8 、R4=3 、R5=1 。t=0时开关打开，求,图7-10 例7-3,解,故得,图715 电压源与RC电路相接,(7-29),初始条件,(7-30),(7-29)的通解为,(7-31),对应齐次方程的通解为,(7-32),令非齐次方程的特解为,代入(7-29)得,(7-33）,由KVL得,(7-29)的通解为,(7-34),将初始条件代入得,零状态时电容电压的解为,(7-35),固有响应 （暂态响应）,强迫响应 （稳态响应）,图7-16 电容电压的起始和最后情况,图7-4 RC电路电容电压随时间变化的曲线,图7-18 电压源与RL电路相接,(7-36),这一响应是由零值开始按指数规律上升趋于稳态值,的过程。,类似RC电路的求解步骤可得,物理过程是动态元件的储能从无到有的过程，电容电压和电感电流都是从零值开始按指数规律上升达到它的稳态值，时间常数等于零输入响应。当达到稳态值后电容相当于开路，电感相当于短路。求出uC(t)和iL(t)后应用置换定理就可求出其它各个电压和电流。,外施激励增加m倍，则零状态响应也增加m倍。这种外施激励和零状态响应之间的正比例关系称为零状态响应的比例性。多个独立的电源作用于电路，可应用叠加定理求出零状态响应。,例7-5 图7-20(a)所示电路在t=0时开关S闭合，求,解 先求,，为此可用戴维南定理将原电路简化为,图7-20 (b)所示电路，其中：,图7-20 例7-5,故得,求 时，图7-20(b)中电感相当于短路。,电感电流由0开始按指数规律上升到3A，故得,解得,利用图7-20(a)，设想开关S闭合，电感用电流源iL(t)置换，运用网孔法求解i(t) 。网孔电流按支路电流iL(t)和i(t)设定，可得网孔方程：,三点内容： （1）全响应=零输入响应+零状态响应； （2）零输入响应线性;,不论是状态变量还是非状态变量，变换模式都是如此，响应对初始状态的比例性。 （3）零状态响应线性：,上式只适用于状态变量，y()为直流稳态值。 响应对某一输入的比例性和对众多输入的的叠加性。,线性动态电路的叠加定理 线性动态电路的完全响应是由来自电源的输入和来自初始状态输入分别作用时所产生的响应的代数和。 这一结论来源于线性电路的叠加性而又为动态电路所独有，称为线性动态电路的叠加定理,电流源与RC电路相接，,电路方程,初始条件,解可表示为,由初始条件得,，因此,故得所求响应为,若,上式变为,这是零输入响应。,若,上式变为,这是零状态响应。,零输入响应曲线和零状态响应曲线；固有响应曲线（暂态）和强制响应曲线（稳态）。,图7-25 完全响应uc的两种分解方式：,（1）零输入响应 （3）固有响应（暂态响应）,（2）零状态响应 （3）强制响应（稳态响应）,例7-7 电路如图7-24所示，开关闭合前电路已处于稳态，t=0时开关闭合，求uC(t)、t0。若12V电源改为24V电源，求uC(t)、t0。,图7-24 例7-7,又,故得,故得,图7-27 求零状态响应用图,求 时零状态响应 :开关闭合时的电路如图7-27(a)所示，运用戴维南定理可得图(b)所示电路，其中：,根据叠加原理，全响应,若12V电压源改为24V电压源，只影响零输入响应，此时,零状态响应不变，故得,图7-28 图7-24所示电路的全响应 及其两个分量,图7-24 例7-7,例7-8 图7-29所示，已知电压源us=2e-tV、电流源is=1A，两电源均在t=0时开始作用于电路，又电容电压初始值u(0)=1V，试求u(t)，t0。若us改为e-tV，求u(t)，t0。,图7-29 例7-8,解 由动态电路叠加原理，求零输入响应u(t)： R0=1/2, =(1/2)1=0.5s，故知u(t)的零输入响应为,零状态响应 ：先求电流源单独作用的响应 ,稳态值为1/2V，故知,再求电压源单独作用的响应 ，此时需要求解微分方程。电流源置零，求得对电容而言的戴维南等效,电路后，可得微分方程,齐次方程通解为,由,得,设特解为Qe-t，代入原方程，用待定系数法可得特解为 故得 根据初始条件u(0)=0，可得K= 2。因此,零状态响应为,全响应为,若us改为e-tV，则由零状态比例性可知 因而,第七章作业 7-24，7-32，7-36 7-38，7-44,用戴维南电路简化的一阶电路,当输入为直流时，uOC(t)和iSC(t)为常数，设uOC(t)=U，由公式(7-3)可知该电路的以uC为变量的微分方程为,(7-37),它的解为,(7-38),(7-39),(7-40),可知,（7-38）式可写成,(7-41),(7-42),(7-3),其中=R0C为时间常数。,设uC(0)和 分别为电容电压uC的初始值和稳态值，则有下列关系,上式表明在直流一阶电路中解答 可由 , 和 三个参数直接写出。,(7-43),在直流一阶电路中，若已知初始值、稳态值和时间常数，电路中任一变量可按公式(7-41)直接写出解答，具有相同的时间常数。 证明：设单口网络N1中的任何两节点jk之间的电压为ujk(t)，并设N1中包含个直流电压源US1 、US2、US和个直流电流源IS1、IS2、IS ,根据叠加定理有,将(7-41)式代入(7-43)式中，可得,(7-44),其中,(7-45),(7-46),(7-44)也可写成,已知uC(0) 或 iL(0) ： 1.用电压为uC(0)的电压源置换电容或用电流为iL(0)的电流源置换电感，得t=0时的等效电路，求得任一电压、电流的初始值 ujk(0), ijk(0)。 2.用开路代替电容或用短路代表电感，得t=时的等效电路，求的任一电压、电流的稳态值ujk()，ijk()。 3.求N1的戴维南电路的等效电阻R0，计算时间常数=R0C或=L/R0 . 4.若0 ，直接写出解答,(7-47),例7-10 电路如图7-34所示，已知电流源iS=2A 、t0 ；iS=0，t0，r =2。求i(t)、t0。,解(1) 求i(0+) ：作t=0，等效电路如图7-35所示，由KVL得,解得,(2)求i() ：作t=等效电路如图7-36所示，可知,图7-34 例7-10,图7-35 t=0+等效电路,图7-36 t=等效电路,(3)求： 对电容而言的戴维南等效电阻R0，施加电压源u1如图7-37所示，由KVL可得,(4)由于i()i(0) ,可知电流i系按指数率上升，波形如图7-38所示。可得,图7-37 外施电压源法求 戴维南等效电阻,图7-38 i(t)波形图,习题7-57 如图所示电路开关在t=0时闭合，设在t=0-时电路处于稳态，在t=100ms时开关又打开，求uab(t)并绘出波形图。,图例 7-35,图(1),图(2),波形图,定义：,(7-48),称,(7-49),为延时单位阶跃函数，记为(tt0)，见图7-42(b)。,为单位阶跃函数，记为(t) ，见图7-42(a)。,图7-42 (a)单位阶跃函数,(b)延时单位阶跃函数,图7-43 用单位阶跃函数表示直流电压在t=0时作用于网络,0,图7-44 分段常量信号举例,单位阶跃响应定义：,零状态电路对单位阶跃信号(t)的响应称为(单位)阶跃响应，用s(t)表示。,零状态比例性,非时变,根据叠加定理，各阶跃信号分量单独作用于电路的零状态响应之和即为该分段常量信号作用下电路的零状态响应。如果电路的初始状态不为零，只需再加上电路的零输入响应，即可求得该电路在分段常量信号作用下的完全响应。,例7-12 求图7-46所示零状态RL电路在图中所示脉冲电压作用下电流i(t)。已知L=1H，R=1。,图7-46 例7-12,解 脉冲电压u(t)可分解为两个阶跃信号之和，但幅度为A，即,A(t)作用下的零状态响应,解答式中的因子(t) 表明该式实际上仅适合于t0 ，式中=L/R=1s。,根据叠加原理可得,和i(t)的波形如图7-47中所示。,图7-47 RL电路对脉冲电压的零状态响应,A(tt0)作用下的零状态响应,当描述动态电路的变量或为不随时间改变的常量，或为随时间而变的周期量时，我们称此电路进入了稳态。 电路不是处于稳态即为处于瞬态。,图7-62 正弦电压波形,(7-72）,(7-71),Um为振幅即最大值，t 是随时间变化的角度，是角频率，表示每秒变化的弧度数。,随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和正弦电流，它们都属于正弦波。,时间的起点选在正弦波正的最大值瞬时之后角处, 即当t=时，才有u=Um,此时正弦电压应表示为,(7-73）,称为初相角，简称初相。,图7-63 初相角,正弦电压(电流)的三特征：振幅、频率（或角频率或周期）、初相。,图7-64 正弦电压作用于RC电路，t=0时开关闭合,设输入到RC电路的正弦电压为,(7-76),波形如图(b)所示，为初相角，取决于开关闭合瞬间us的数值与方向。电路的微分方程为,(7-77),设电容的初始电压为uC(0)=0，微分方程的解答由对应的齐次方程的通解uCh和特解uCp组成。,齐次方程的通解为,(7-78),设特解为,故得,即,以及,(7-79),(7-82a),(7-82b),(7-83a),即,(7-83b),其中UCm和u为待定常数，将其代入(777)式可得,(7-80),(7-81),即有,因此微分方程的完全解为,(7-84),上式令t=0可得,由初始条件,在正弦电压作用下的响应（零状态响应）为,即,(7-85),，得,(7-86),瞬态响应(固有响应) + 稳态响应(强迫响应),曲线1瞬态响应分量 曲线2稳态响应分量,图7-66 RC电路响应uC(t)，uC(0)=0,过渡状态，响应为瞬态响应和稳态响应的叠加。稳定状态，t 4瞬态响应衰减98%可以认为电路响应已进入稳态。,瞬态响应(固有响应) + 稳态响应(强迫响应),图7-67 RC电路的响应uC(t),1,2,思考题,7-12 瞬态响应分量和零输入响应均具有Kest 形