海高考二模数学宝山静安青浦区理.pdf

01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 1 - 2015 年宝山、静安、青浦区第二学期高三年级教学质量检测 2015 年宝山、静安、青浦区第二学期高三年级教学质量检测 数学试卷（理科） 数学试卷（理科） 2015.04. 2015.04. （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1已知抛物线 2 2ypx的准线方程是2x ，则p 2已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此扇形的弧长为 cm 3复数 34i i （i为虚数单位）的模为 4函数221yxx的值域为 5若 202 1310 x y ，则xy 6在 9 2 1 x x 的展开式中， 3 1 x 的系数是 7方程)cos(lg)sin3(lgxx的解集为 8射击比赛每人射 2 次，约定全部不中得 0 分，只中一弹得 10 分，中两弹得 15 分，某人每 次射击的命中率均为 4 5 ，则他得分的数学期望是 分 9过圆04 22 myxyx上一点) 1 , 1 (P的切线方程为 10在极坐标系中，点 P(2， 6 11 )到直线 sin1 6 的距离等于 11把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤若把这个大金属球熔化制成 64个大小都相同 的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤 12设 12 ,e e 是平面内两个不共线的向量， 12 (1)ABaee ， 12 2ACbee ，0,0ab. 若, ,A B C三点共线，则 12 ab 的最小值是 13设等差数列 n a的前n项和为 n A，等比数列 n b的前n项和为 n B，若 33 ab， 44 ab， 且 53 42 7 AA BB ，则 53 53 aa bb 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 2 - 14已知：当0x 时，不等式 1 1 kxb x 恒成立，当且仅当 1 3 x 时取等号，则k 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的 相应编号上，填上正确的答案，选对得 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的 相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A）0AE FC （B） 0AE DF （C）FCFDFB （D） 0FD FB 16.已知偶函数)(xf的定义域为R，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A）)(sinxf（B）)(sin xfx（C）)(sin)(xfxf（D） 2 )(sinxf 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ） （A）是循环变量初始化，循环就要开始 （B）为循环体 （C）是判断是否继续循环的终止条件 （D）输出的 S 值为 2，4，6，8，10，12，14，16，18. 18.定义：最高次项的系数为 1 的多项式 1 110 n n n p x x a x a x a - - =+（* n N ）的其 余系数(0,1,1) i a i n 均是整数，则方程( )0 p x 的根叫代数整数 下列各数不是代数整数的是（ ） （A） 2 2 （B）3 （C）1 5 2 （D） 13 22 ii 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 (本题满分 12 分)本题共有分)本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分 4 分，第小题满分 4 分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，已知2 1 ABBCAA，ABBC （1）求四棱锥 111 ABCC B的体积； （2）求二面角 111 CCAB的大小 F AB C ED C B A C1B1 A1 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 3 - 20. (本题满分 (本题满分 14 分)分) 本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分 8 分小题满分 8 分 已知函数)(),(xgxf满足关系)()()(xfxfxg，其中是常数. （1）若xxxfsincos)(，且 2 ，求)(xg的解析式，并写出)(xg的递增区间； （2）设 1 ( )2 2 x x f x ，若)(xg的最小值为 6，求常数的值 21. (本题满分 (本题满分 14 分）分） 本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分 分 某公园有个池塘，其形状为直角ABC， 0 90C，AB的长为 2 百米，BC的长为 1 百米 （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点DEF、 、，如图(1)， 使得EF/AB，EFED，在DEF内喂食，求当DEF的面积取最大值时EF的长； （2） 若准备建造一个荷塘， 分别在AB、BC、CA上取点DEF、 、， 如图(2)， 建造DEF 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，记FEC，求DEF边长的最小 值及此时的值(精确到 1 米和 0.1 度) 图(2) 图(1) A C BB C A F E D F D E 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 4 - 22. （本题满分 16 分）本题共有 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 7 分个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 7 分 在平面直角坐标系xoy中， 已知椭圆C的方程为 2 2 1 8 x y ， 设AB是过椭圆C中心O的 任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不 重合的点 （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程； （2）若2MOOA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程； （3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为(0)ykx k，当AMB面积取最小值 时，求直线AB的方程 23. （本题满分 18 分）本题共有 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分 设 n a是公比为(1)q q 的等比数列，若 n a中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称 n a是封闭数列. （1）若 1 23aq，判断 n a是否为封闭数列，并说明理由； （2）证明 n a为封闭数列的充要条件是：存在整数1m ，使 1 m aq ； （3）记 n 是数列 n a的前n项之积， 2 log nn b ，若首项为正整数，公比2q ，试问： 是否存在这样的封闭数列 n a，使 12 11111 lim 9 n n bbb ，若存在，求 n a的通项公式； 若不存在，说明理由 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 5 - 宝山、静安、青浦区 2014 学年第二学期 高三二模质量抽测（文、理） 宝山、静安、青浦区 2014 学年第二学期 高三二模质量抽测（文、理） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2015.04 说明：说明： 1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的 精神进行评分 本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的 精神进行评分 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考 生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的 概念性错误，就不给分 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考 生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的 概念性错误，就不给分 3第第 19 题至第题至第 23 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数 4给分或扣分均以给分或扣分均以 1 分为单位 一.填空题 （本大题满分 56 分） 本大题共有 14 题， 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 分为单位 一.填空题 （本大题满分 56 分） 本大题共有 14 题， 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1 4； 25； 35； 41,； 5 2； 6 126； 7（文） | , 6 x xkkZ 8.（文）1 3 ； （理） 5 |2, 6 x xkkZ （理）12.8； 9. （文）1； 10 （文）17； （理）210xy ； （理）31； 11 9.6； 12. 4； 13. （文）2； 14. 9 16 . （理） 4 5 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. A ；16. B ； 17 D ；18. A . 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 6 - 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分）本题共 2 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分. 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分）本题共 2 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分. 19解：（文科）(1) 因为三棱柱的体积为18 3， 1 6AA， 从而 2 3 3 3 4 ABC SBC ， 因此 2 3BC . 2 分 该三棱柱的表面积为2+=6 3+36 342 3 ABC SSS 全侧 . 4 分 (2)由（1）可知 2 3BC 因为 1 CC/ 1 AA.所以 1 BC C为异面直线 1 BC与 1 AA所成的角， 8 分 在 Rt 1 BC C中， 1 2 33 tan 63 BC C ， 所以 1 BC C= 6 . 异面直线 1 BC与 1 AA所成的角 6 12 分 解：（理科）(1)因为ABBC，三棱柱 111 CBAABC 是直三棱柱，所以 11 ABBCC B ，从 而 11 AB 是四棱锥 111 ABCC B 的高. 2 分 四棱锥 111 ABCC B的体积为 18 2 2 2 33 V 4 分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系 则 A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2）， B1（0，0，2），C1（0，2，2）， 6 分 设 AC 的中点为 M，, 1 CCBMACBM )0 , 1 , 1 ( 11 BMC，CABM即平面是平面 A1C1C 的一个法向量 设平面 A1B1C 的一个法向量是),(zyxn ，)0 , 0 , 2(),2, 2 , 2( 11 BAAC 8 分 , 0222, 02 111 zyxCAnxBAn 令 z=1，解得 x=0，y=1) 1 , 1 , 0(n， 9 分 设法向量n与BM的夹角为，二面角 B1A1CC1的大小为，显然为锐角 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 7 - |1 cos|cos|,. 23| | n BM nBM 解得 111 . 3 BACC 二面角的大小为12 分 20.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.20.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分. 20.解：（1）xxxfsincos)(， 2 xxxfsincos)(； xxg2cos)(4 分 递增区间为, 2 kk ，（kZ）（注：开区间或半开区间均正确） 6 分 （2）（文）( )()1g xxx ，当 1 , 2 x 时， 1 x x 8 分 令 1 ( )h xx x ，则函数 ( )yh x 在 1 , 2 x 上递减10 分 所以max 13 ( )( ) 22 h xh 12 分 因而，当 3 2 时， ( )1g x 在 1 , 2 x 上恒成立14 分 （理） 1111 ( )22222 22222 xxxx xxxx g x ，8 分 2 2 111 ( )222226 22 22 x x g x 10 分 解得223 12 分 所以 2 log2314 分 21.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分. 21.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分. 21.解：(1)设EFx，则 2 x CE ，故1 2 x BE ，所以 3 1 22 x DE ，2 分 3 1,(0,2) 42 DEF x Sxx ，4 分 因为 2 33 1 11 22224 22 DEF xxxx S 当且仅当1x 时等号成立， 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 8 - 即max 3 8 DEF S6 分 (2)在Rt ABC中， 0 30A，设FEC，0, 2 ，则 0 90EFC， 0000 18060(90)30AFD，8 分 所以 0000 18030(30)120ADF 设CFx，则3AFx，在ADF中， 00 3 sin30sin(120) DFx ，10 分 又由于sinsinxEFDF，所以 00 3sin sin30sin(120) DFDF 11 分 化简得 33 0.65 2sin3cos7 DF 百米=65 米13 分 此时 3 tan 2 ， 0 40.9, 0 49.114 分 解法 2：设等边三角形边长为EFEDDFy， 在EBD中， 60B ， EDB ，8 分 由题意可知cosCEy，9 分 则1cosEBy ，所以 1cos sin60sin yy ，11 分 即 33 0.65 2sin3cos7 y ，13 分 此时 3 tan 2 ， 0 40.9, 0 49.114 分 22.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 7 分.22.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 7 分. 22.解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为( 7,0),(2 2,0)，1 分 所以在双曲线 2 2 22 1 y x ab 中， 2 7a ， 2 8c ， 222 1bca， 因而双曲线方程为 2 2 1 7 x y4 分 （2）设()M xy，()A mn，则由题设知：2OMOA ，0OA OM 即 2222 4() 0 xymn mxny ， ， 5 分 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 9 - 解得 22 22 1 4 1 4 my nx ， 7 分 因为点()A mn，在椭圆 C 上，所以 2 2 1 8 m n，即 2 2 2 1 82 y x ， 亦即 22 1 432 xy 所以点 M 的轨迹方程为 22 1 432 xy 9 分 （3）（文）因为 AB 所在直线方程为(0)ykx k 解方程组 2 2 1 8 x y ykx ， ， 得 2 2 8 18 A x k ， 2 2 2 8 18 A k y k ， 所以 22 222 222 888(1) 181818 AA kk OAxy kkk ， 2 22 2 32(1) 4 18 k ABOA k . 又 2 2 1 8 1 x y yx k ， ， 解得 2 2 2 8 +8 M k x k ， 2 2 8 +8 M y k ，所以 2 2 2 8(1) +8 k OM k 11 分 由于 222 1 4 AMB SABOM 22 22 132(1)8(1) 418+8 kk kk 22 22 64(1)32 (18)(+8)7 k kk 14 分 解得 22221 (61)(6)06 6 kkkk或即 6 6 6 kk 或 又0k ，所以直线AB方程为 6 6 yx或 6yx 16 分 （3）（理）（方法 1）因为 AB 所在直线方程为(0)ykx k 解方程组 2 2 1 8 x y ykx ， ， 得 2 2 8 18 A x k ， 2 2 2 8 18 A k y k ， 所以 22 222 222 888(1) 181818 AA kk OAxy kkk ， 2 22 2 32(1) 4 18 k ABOA k . 又 2 2 1 8 1 x y yx k ， ， 解得 2 2 2 8 +8 M k x k ， 2 2 8 +8 M y k ，所以 2 2 2 8(1) +8 k OM k 11 分 由于 222 1 4 AMB SABOM 22 22 132(1)8(1) 418+8 kk kk 01 宝山 07 静安 13 青浦理 上海朱老师家教上海一线教师家教2015 年宝山、静安、青浦二模理- 10 - 22 22 2 2 64(1)392256 8 8 (18)(+8)81 865 8 k kk k k 14 分 或 22 2 22 64(1) 18+8 2 k kk 22 22 64(1) 256 8181 (1) 4 k k ， 当且仅当 22 188kk时等号成立，即 k1 时等号成立， 此时AMB 面积的最小值是 SAMB16 9 15 分 AB 所在直线方程为yx 16 分 （方法 2）设()M xy，则()(0)AyxR， 因为点 A 在椭圆C上，所以 222 (8)8yx，即 22 2 8 8yx （i） 又 22 88xy（ii） （i）+（ii）得 22 2 81 1 9 xy ，11 分 所以 228116 |()| 99 AMB SOM OAxy .14 分 当且仅当1 （即1 AB k ）时，min 16 9 AMB S. 又0k AB 所在直线方程为yx 16 分 23.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分. 23.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分. 23.解：（1） n a不是封闭数列，因为 1 2 3n n a ， 1