用数学思维备战高考.ppt

中国人民大学,安徽大学,我们的理想,请同学们爱护教室的公物和卫生!,以人为本 相约命题人,用数学思维备战高考,主讲人： 匡大章,解题先解人,高考想到出题难,考纲如镜法如山,几支梅艳三寒苦,一道题成百汗干,缘遇遭遇各有因,殊途同归大局稳,解题先解出题人,看到题型想题根,与命题人相约,（一）考题 是在这样制作,（三）试卷 是按板块划分,（二）考纲 是在这样修订,（四）创新题 不与考生为难,（一）考题 是在这样制作,高考出题, 在很多人的心中是件“神秘的事”.,由于保密, 故有人称高考出题是“暗箱操作”.,其实, 高考出题是非常透明的“阳光工程”.,考什么? 怎么考? 在考试大纲及其”说明”中讲的十分明白.,只是我们有时只注意到了要考查的内容细节, 而忽略了考查的命题思想和命题过程.,更少有人去考虑命题过程中的机遇和遭遇.,2008年全国1卷第10题的设计,【考点】 直线与圆的位置关系,【题序】 选择题 第3组 710号位,【难度】 偏易题 难度0.7左右,【入口】 视角大 交汇广 选择多 入口宽,【能力】 突出数学思想 倡导会想少算,【期待】 一般生少量演草 尖子生一望而答,【同根】 文理共有题根 文理要求有别,第10题根基的审查,【代数设计】 已知 一次方程 ax+ by =1和 二次方程x2+ y2 = 1,方程组有解的条件是 a2+ b2 1.,【代数追根】方程组消 y 后化归到一元二次方程,根基是一元二次方程的判别式。,【几何设计】 已知 一次直线 ax+ by =1 和 单位圆x2+ y2 = 1,直线与圆有公共点的条件是 a2+ b2 1.,【几何追根】点和直线的位置关系,圆心到直线的距离不大于圆的半径。,第10题的演变,【初稿】 已知 一次直线 ax+ by =1和 单位圆x2+ y2 = 1,直线与圆有公共点的条件是 a2+ b2 1.,【说明】这种演变，是题根从代数模型向几何模型的倾斜：,从代数上看，一次方程变复杂了，,从几何上看，截距式方程变简单了！,【终稿】已知 直线 和单位圆x2+ y2 = 1,直线与圆有公共点的条件是 .,2008年全国1卷文科第10题,【说明】 考点选择：直线与圆的位置关系有公共点。,直线选择了斜截式，圆选择了单位圆。,【考题】若直线 与 圆 有公共点 ，则 A B C D,问题设计：求参数a，b所满足的条件。,舍直求迂 出题人苦心不遇,【考题】若直线 与 圆 有公共 点，则 A B C D,【点评】 数形结合可贵，公式死板太迂,截迂为直 一望而答,【考题】若直线 与 圆 x2+y2=1 有公共 点，则 A B C D,【点评】 特殊一般、部分整体。,【解二】 设圆心到直线 的距离为,截迂为直，一望而答！,2008年全国1卷文科第10题,【解三】（代数进入） 直线 方程与圆方程联立，消 y 得,【考题】若直线 与 圆 有公共点 ，则 A B C D,【点评】 等价转换可贵，数形结合倒置！,（a2+b2）x2 2ab2x + a2b2 - a2 = 0,令判别式大于等于0，解得答案D,运算量大繁！,2008年全国1卷文科第10题,【解四】 取a= b= 1/2, 淘汰 B 和 C,【考题】若直线 与 圆 x2+y2=1 有公共点 ，则 A B C D,【点评】 特殊一般、偶然必然。,取a =2， b= 1/2, 淘汰 A,答案只能为D.,特值淘汰法，一望而答。,2008年全国1卷理科第10题的命制,【改理】 将圆 的方程 x2+y2 = 1 参数化：,【文题】若直线 与 圆 x2+y2=1 有公共点 ，则 A B C D,问题改成：直线过点 M（ cos ， sin ）,设x = cos y = sin,【说明】 在文、理姐妹题中，理题比文题多一道“弯”！,2008年全国1卷理科第10题,【转文】 点M（ cos ， sin ）的轨迹是 圆 x2 + y2 = 1.,【理题】若直线 过点M（ cos ， sin ） ，则 A B C D,以下转为文科第10题求解.,【点评】 命题如制谜，解题如猜谜，制谜时用数学思想转换， 猜谜时用数学思想还原！,2008年理科第10题解法,【思考】 点M（ cos ， sin ）的轨迹是 圆 x2 + y2 = 1.,【理题】若直线 过点M（ cos ， sin ） ，则 A B C D,以下可以转为文科第10题求解.,但是，如果不转化为文科的单位圆，有直接的解法吗？,2008年理科第10题的直解,【直解】 点M（ cos ， sin ）在 直线上，则有,【理题】若直线 过点M（ cos ， sin ） ，则 A B C D,【思考】你能由此推出 吗？,会想少算 形繁实简,【问题】你能由 推出 吗？,【提示】,【口答】 sin (+) = 1,直解简单，不必转文！,2008年全国1卷第10题妙解,【妙解】 直线到原点的距离有最大值1，但无最小值。,【理题】若直线 过点M（ cos ， sin ） ，则 A B C D,【点评】肯定否定、有限无限。思想激活，一望而答！,（1）2010年高考数学大纲是2009年的延续.,（二）考纲 是在这样修订,（2）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际.,（4）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低,（3）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主 体，较难题不超过30%，中档题和容易题不低于70%.,（5）多想少算，凸显思维，不在草稿纸上比高矮。,试卷布局，从大题开始：,（三）设计试卷 按板块划分,（2）隐性的两大板块或在大题中交叉，或在小题中填补。,（1）六道大题，安排着高中数学的六大显形板块。,（3）显性六大板块是：三角、立几、概率、解几、函数、数列。,（4）隐性的两大板块是：不等式、向量。,（5）还有离散小块；线性规划、排列组合、二项式定理、复数等，它们在大题中作辅助支撑，或在小题中单独出题。,第16题（12分），解三角形（三角函数） .文理一样,2009年安徽卷6大板块的分布,第18题（12分），(文）解析几何（椭圆与圆） （理）立体几何（解四棱锥）.,第17题（12分），概率统计（数学应用题 ） . 文统计茎叶图理离散分布列,第20题（12分）， (文）立体几何（线面关系） （理）解析几何（椭圆）,第19题（12分），（文）数列通项求和（不等式） （理）函数导数（讨论单调性） .,第21题（12分），（文）函数导数（讨论单调性） （理）数列（不等式）.,【分析】(1) 解、证不等式和向量没有单独设大题.,(2) 数学应用题转到概率统计.,(3) 函数和函数方程思想渗透到各个板块.,09年安徽卷15道客观题的板块归属,第1题，复数代数计算（0）,第9题，导数（1）,第2题，集合运算（7）,第10题，概率（2）,第11题，空间坐标 （正态分布）（0）,第3题，线性规划 （解析几何 ） （0）,第4题，充要条件（7、3）,第12题，算法框图 （参数方程）（0）,第5题，数列（6）,第13题，几何概率 （算法框图）（0）,第7题，解析几何 （线性规划）（0）,第6题，解析几何 （函数图像） （0）,第8题，函数图像 （三角函数）（0）,第14题，向量（0）,第15题，立体几何（1、5）,【说明】 显形板块 6个：（1）三角函数；（2）立体几何； （3）函数，（4）概率统计； （5）解几；（6）数列.,隐形板块 1个：(7)不等式.,（四） 创新题 不与考生为难,创新的要求提的很高，新题型也喊得很响。但是它必须服从高考稳定的需要。,反复强调：新题型的新立意、新情景、新设问、新解答，新应用等，必须为高中生可以接受。,为了新而不难，这几年新课程考区的数学试题，凡有“创新” 的题目，的确没有与考生为难！,高考稳定就是社会稳定！,( A ) x1x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1,【说明】 本题基本不涉及高中数学知识.有些初中生也可解出.,【例】 图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段上驶 入与驶出的车辆数相等），则,高考试题 初中能解,【例】 图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时间内上述路段中，同一路段,( A ) x1x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1,上驶入与驶出的车辆数相等），则,【初中生的解答】 段上的车辆数 x1 有两部分组成，一是从 A口进来的50辆，二是从 段上分流过来的x3 55，于是有 x1=50+x3 -55=x3 -5，所以x1 x3，同理得x3 x2，答案为C.,【例】 图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段,( A ) x1x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1,【高中生的困惑】 有些高中生敏于文字信息，而疏于图形信息. 而此题的文字只给了一个数学情境，数据及其关系都在图中. 这就是某些高中生交白卷的原因.,上驶入与驶出的车辆数相等），则,以上考题连初中生（甚至小学生）都会做，而有高中生解不出，故有人说：高中数学知识学的越多，解新题就越困难. 这句话显然是错的，困难的原因不是“难”而是“新”，用死套路去解新题目，自然会失败.,不因为“难” 只因为“新”,x1 - x3 = 50 55 0 得 x1x3 遗憾的是，有些高中生所学的“比较法”，只能“比较”旧题目.,其实 ，利用高中数学“实数比大小”，比较法可以很快得到：,趣事 家长也能解此题,有一位家长，不知是不是一位司机，反正，他看到此题，认为非常容易，甚至“不需要数学”，你听他唱：,x1、x3 比大小 看看A口就知晓 出的多来进的少 所以 x1 比 x3 小,其实，他的“比大小”就是数学，可能是学究们不明白的“另种数学”.,新考题所留下的印象,（1）数学背景不生，数学情景很熟；,（3）数学内容不偏，数学沟通很广；,（6）数学设问不难，数学入口很宽；,（9）数学问题不刁，数学思想很活；,（4）数学方法不旧，数学应用很新；,（5）数学知识不杂，数学叙述很详；,（2）数学理论不深，数学实践很重；,（7）数学抽象不怪，数学形象很多；,（8）数学研究不虚，数学科普很实；,让数学的思维展开翅膀,对一道有关圆锥曲线课本习题的解法探析,高考题可以说是源于课本而高于课本，正是此 原因，我们在一轮复习时要抓着课本，吃透课 本习题，展开思维的想象，我们可以选取课本 上的较为典型的习题，进行深入的研究和论， 用以前学过的旧知识解决学习中遇到的新题， 加强知识的横向联系，拓宽思维的灵活性和广 阔性。这样当我们面对高考试题时会不慌忙， 从容以对。,选修3-2（文科选修2-1）章节复习题：,分析： 这是一道很好的复习题， 一是从思维的角度看， 它有很多求解的切入点； 二是通过对其解法的归纳、 总结，我们能对圆锥曲线的 性质及一般解题方法和规律 理解得更深刻。,案例1：,由题意得：a=,思路1：,思路5：,思路3：,思路6：,思路4：,思路2：,思路1：在解析几何中，两直线垂直通常用斜率乘积等于-1来表示。,解法1：由 得,又 点P在椭圆上，,联立得,所以：满足条件的点有四个，即,思路2：由于P是椭圆上的动点，当 时，可以把 它看成在以 为直径的圆周上运动，因此把P点看成两 条曲线的交点，就可以求P点的坐标了。,解法2：,P点在以 为直径的 圆周上，故有,上式与 联立，即可 求出满足条件的4的点。以下同解法1.,思路3：两条直线的垂直关系可以用向量来表示， 即相应的两个向量的数量积等于零，因此可以构造 向量来解决。,解法3：,以下同解法1.,思路4： 在直角三角形F1PF2中，因为斜边已知，如果两条直角边能用P点坐标表示，那么利用勾股定理就可以解决，而表示PF1、PF2用焦半径公式就很简单。,解法4：由焦半径公式：,以下略。,思路5： 由于P点在椭圆上，所以点P坐标可以用椭圆的参数方程来表示，这样减少了未知数，用勾股定理建立方程就可以了。,由勾股定理，得,思路6：,利用面积的两种方法，建