2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直教学案理(含解析).docx_第1页
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文档简介

空间中的平行与垂直【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中档【重点、难点剖析】 1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:a,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,bab.(3)面面平行的判定定理:a,b,abP,a,b.(4)面面平行的性质定理:,a,bab.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mnP,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,l,a,ala.4垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用此定理进行转化.【题型示例】题型一空间中点线面位置关系的判断 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断【例1】2018全国卷在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C. D.【解析】如图(1),在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B,由长方体性质可知,B1BAD1,所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB,由题意,得DB,BB12,DB1.在DBB1中,由余弦定理,得DB2BB1DB12BB1DB1cosDB1B,即54522cosDB1B, cosDB1B.故选C.如图(2),分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系【答案】C【方法技巧】判断空间位置关系的两种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.【变式探究】在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A4 B5 C6 D7解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共有6条直线与直线BA1是异面直线,故选C.答案:C【举一反三】设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,则下列命题中正确的个数是()若l,则l与相交;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.A1 B2C3 D4解析:对于,若l,则l与不可能平行,l也不可能在内,所以l与相交,正确;对于,若m,n,lm,ln,则有可能是l,故错误;对于,若lm,mn,则ln,又l,所以n,故正确;对于,因为m,n,所以mn,又lm,所以ln,故正确,选C.答案:C【变式探究】【2017江苏,15】 如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD. 求证:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.(第15题)ADBCEF【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明:(1)在平面内,因为ABAD, ,所以.又因为平面ABC, 平面ABC,所以EF平面ABC.【变式探究】【2016高考江苏卷】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,. 求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F. 【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】证明:(1)在直三棱柱中,在三角形ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点.所以,于是又因为DE平面平面所以直线DE/平面(2)在直三棱柱中,因为平面,所以又因为 所以平面因为平面,所以又因为所以因为直线,所以【举一反三】已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A若,垂直于同一平面,则与平行B若m,n平行于同一平面,则m与n平行C若,不平行,则在内不存在与平行的直线D若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A,垂直于同一平面,关系不确定,A错;对于B,m,n平行于同一平面,m,n关系不确定,可平行、相交、异面,故B错;对于C,不平行,但内能找出平行于的直线,如中平行于,交线的直线平行于,故C错;对于D,若假设m,n垂直于同一平面,则mn,其逆否命题即为D选项,故D正确答案D【变式探究】如图,在直三棱柱ABCABC中,ABAAAC2,BAC,点D,E分别是BC,AB的中点(1)求证:DE平面ACCA;(2)求二面角BADC的余弦值【解析】(1)证明:取AC的中点F,连接DF,AF,则DFAB,又AEAB,所以DFAE,又因为DFAB,AEAB,所以DFAE,所以四边形DFAE是平行四边形,所以EDAF,又AF平面ACCA,所以ED平面ACCA.(2)在平面ABC中,以过点A且垂直于AC的直线为x轴,直线AC为y轴,AA为z轴,建立空间直角坐标系Axyz.所以点A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),B(,1,2),C(0,2,2),D.所以,(,1,2),(0,2,2)设平面BAD的法向量为m(x,y,z),则由m0和m0,得取m(1,)同理,可取平面CAD的法向量n(1,)设二面角BADC的平面角为,易知0,则cos .【变式探究】设,是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:若,l,则l;若l,l,则;若l上有两点到的距离相等,则l;若,则.其中正确命题的序号是_【解析】由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断,真命题为.【答案】【规律方法】这类题为高考常考题型,其实质为多项选择主要考查空间中线面之间的位置关系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,做到不漏选、多选、错选【变式探究】如图,三棱锥ABCD中,ABACBDCD3,ADBC2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是_解析连接DN,作DN的中点O,连接MO,OC.在AND中M为AD的中点,则OM綉AN.所以异面直线AN,CM所成角为CMO,在ABC中,ABAC3,BC2,则AN2,OM.在ACD中,同理可知CM2,在BCD中,DN2,在RtONC中,ON,CN1OC.在CMO中,由余弦定理cosCMO.答案【变式探究】(1)已知直线l,m与平面,l,m,则下列命题中正确的是()A若lm,则必有B若lm,则必有C若l,则必有D若,则必有m答案C解析对于选项A,平面和平面还有可能相交,所以选项A错误;对于选项B,平面和平面还有可能相交且不垂直或平行,所以选项B错误;对于选项C,因为l,l,所以,所以选项C正确;对于选项D,直线m可能和平面平行或相交,所以选项D错误(2)如图,平面平面,l,A,C是内不同的两点,B,D是内不同的两点,且A,B,C,D直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点下列判断正确的是()A当CD2AB时,M,N两点不可能重合BM,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交C当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l相交D当AB,CD是异面直线时,直线MN可能与l平行答案B解析由于直线CD的两个端点都可以动,所以M,N两点可能重合,此时两条直线AB,CD共面,由于两条线段互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形,因此ACBD,而BD,ACB,所以由线面平行的判定定理可得AC,又因为AC,l,所以由线面平行的性质定理可得ACl,故选B.【感悟提升】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【变式探究】(1)已知直线a,b,平面,下列命题正确的是()A若,a,则aB若a,b,c,则abcC若a,ba,则bD若,a,b,则ba答案A解析A中,若,a,则a,该说法正确;B中,若a,b,c,在三棱锥PABC中,令平面,分别为平面PAB,PAC,PBC,交线a,b,c为PA,PB,PC,不满足abc,该说法错误;C中,若a,ba,有可能b,不满足b,该说法错误;D中,若,a,b,正方体ABCDA1B1C1D1中,取平面,为平面ABCD,ADD1A1,直线b为A1C1,满足b,不满足ba,该说法错误(2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是Al与l1,l2都相交Bl与l1,l2都不相交Cl至少与l1,l2中的一条相交Dl至多与l1,l2中的一条相交答案C解析方法一如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故D不正确,故选C.方法二因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,从而l1l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,故选C.题型二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化【例2】2018北京卷如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PAPD,E,F分别为AD,PB的中点 (1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.证明:(1)因为PAPD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FGBC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DEBC.所以DEFG,DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.【方法技巧】1证明线线平行的4种常用方法(1)利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;(2)利用平行四边形进行平行转换;(3)利用三角形的中位线定理证线线平行;(4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换2证明线线垂直的3种常用方法(1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质;(2)勾股定理; (3)若M是PC的中点,求三棱锥M ACD的体积(1)证明ABDC,且AB平面PCD,CD平面PCD.AB平面PCD.(2)证明在直角梯形ABCD中,过C作CEAB于点E,则四边形ADCE为矩形AEDC1,又AB2,BE1,在RtBEC中,ABC45,CEBE1,CB, ADCE1,则AC,AC2BC2AB2,BCAC,又PA平面ABCD,PABCPAACA,BC平面PAC(3)解M是PC中点,M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半VM ACDSACDPA.【变式探究】(1)如图,三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,AA1平面ABC,E,F分别为棱A1B1,BC的中点求证:直线BE平面A1FC1;平面A1FC1与直线AB交于点M,指出点M的位置,说明理由,并求三棱锥BEFM的体积证明取A1C1的中点G,连接EG,FG,点E为A1B1的中点,EGB1C1且EGB1C1,F为BC中点,BFB1C1且BFB1C1,所以BFEG且BFEG.所以四边形BFGE是平行四边形,所以BEFG,又BE平面A1FC1,FG平面A1FC1,所以直线BE平面A1FC1.解M为棱AB的中点理由如下:因为ACA1C1,AC平面A1FC1,A1C1平面A1FC1,所以直线AC平面A1FC1,又平面A1FC1平面ABCFM,所以ACFM.又F为棱BC的中点,所以M为棱AB的中点BFM的面积SBFMSABC22sin 60,所以三棱锥BEFM的体积VBEFMVEBFM2.(2)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,PD平面ABCD,BAD60,PD2a,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点证明:平面EAC平面PBD;若PD平面EAC,三棱锥PEAD的体积为18,求a的值证明因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.又四边形ABCD为菱形,所以ACBD,又PDBDD,PD,BD平面PBD,所以AC平面PBD.又AC平面EAC,所以平面EAC平面PBD.解连接OE.因为PD平面EAC,平面EAC平面PBDOE,所以PDOE.又ACBDO,所以O是BD的中点,所以E是PB的中点因为四边形ABCD是菱形,且BAD60,所以取AD的中点H,连接BH, 可知BHAD,又因为PD平面ABCD,BH平面ABCD,所以PDBH.又PDADD,PD,AD平面PAD,所以BH平面PAD.由于ABa,所以BHa.因此点E到平面PAD的距离dBHaa,所以VPEADVEPADSPADda2aaa318.解得a6.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证明线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可,l,ala.【变式探究】如图,在四棱锥PABCD中,ADB90,CBCD,点E为棱PB的中点(1)若PBPD,求证:PCBD;(2)求证:CE平面PAD.证明(1)取BD的中点O,连接CO,PO,因为CDCB,所以CBD为等腰三角形,所以BDCO.因为PBPD, 所以PBD为等腰三角形,所以BDPO.又POCOO,PO,CO平面PCO,所以BD平面PCO.因为PC平面PCO,所以PCBD.(2)由E为PB的中点,连接EO,则EOPD,又EO平面PAD,PD平面PAD,所以EO平面PAD.由ADB90及BDCO,可得COAD,又CO平面PAD,AD平面PAD,所以CO平面PAD.又COEOO,CO,EO平面COE,所以平面CEO平面PAD,而CE平面CEO,所以CE平面PAD.题型三平面图形的翻折问题1画好两图:翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图2把握关系:即比较翻折前后的图形,准确把握平面图形翻折前后的线线关系,哪些平行与垂直的关系不变,哪些平行与垂直的关系发生变化,这是准确把握几何体的结构特征,进行空间线面关系逻辑推理的基础3准确定量:即根据平面图形翻折的要求,把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征,这是准确进行计算的基础例3、2018全国卷如图,在平行四边形ABCM中,ABAC3,ACM90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BPDQDA,求三棱锥Q ABP的体积【解析】(1)证明:由已知可得,BAC90,即BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解:由已知可得,DCCMAB3,DA3.又BPDQDA,所以BP2.如图,过点Q作QEAC,垂足为E,则QE綊DC.由已知及(1)可得,DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE1.因此,三棱锥Q ABP的体积为VQ ABPSABPQE32sin 4511.【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.【变式探究】如图1,已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为AB中点将ADE沿线段DE折起到PDE的位置,如图2所示(1)求证:DE平面PCF;(2)求证:平面PBC平面PCF;(3)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平面CFM平面PEN?若存在,请指出点M,N的位置,并证明;若不存在,请说明理由(1)证明折叠前,因为四边形AECD为菱形,所以ACDE,所以折叠后,DEPF,DECF,又PFCFF,PF,CF平面PCF,所以DE平面PCF.(2)证明因为四边形AECD为菱形,所以DCAE,DCAE.又点E为AB的中点,所以DCEB,DCEB,所以四边形DEBC为平行四边形,所以CBDE.又由(1)得,DE平面PCF,所以CB平面PCF.因为CB平面PBC,所以平面PBC平面PCF.(3)解存在满足条件的点M,N,且M,N分别是PD和

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