高等数学方法——中值定理.ppt

,第五讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用,方法指导 1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系,第二章第二节 微分中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,(1) 几个中值定理的关系,(2) 证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如, 证明拉格朗日定理 :,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .,方法1. 直观分析,由图可知 , 设辅助函数,(C 为任意常数 ),方法2. 逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样, 柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要.,可适当减弱. (如p85例13),因此,设,在,内可导,且,则至少存在一点,使,证: 设辅助函数,显然,在,上连续,在,内可导,由罗尔,定理可知 , 存在一点,使,即,(4) 中值定理的统一表达式,设,都在,上连续 , 且在,内可导, 证明至少存在一点,使,证: 按三阶行列式展开法有,利用逆向思维设辅助函数,显然 F(x) 在a , b 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且,因此,由罗尔定理知至少存在一点,使,即,说明,设,都在,上连续 , 且在,内可导, 证明至少存在一点,使,若取,即为罗尔定理;,若取,即为拉格朗日中值定理;,若取,即为柯西中值定理;,( 自己验证 ),2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,3. 中值定理的主要解题方法,中值定理,原函数的性质,导函数的性质,解题方法:,从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定,理及适当设辅助函数 .,(1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用,罗尔定理 ,此时可用原函数法设辅助函数.,(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理 .,(3) 若结论中含两个或两个以上中值 ,必须多次,使用中值定理 .,(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 ,多考虑用,泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .,(5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0 , 再利用,特殊点定常数 .,(6) 若结论为不等式 ,要注意适当放大或缩小的,技巧.,1.对微分中值定理的理解,例1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,二. 实例分析,例2. 思考: 在,即,当,时,问是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,例3. 当 时, 试证,证: 设,当 时,在,上,满足拉氏中值定理条件, 因此有,解出, 则,时,(p76例2),又因,及,在,单调递增 , 于是,说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .,第六讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用,微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,例4. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界. (p77例3),证: 取点,再取异于,的点,对,在以,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,( 界于 与 之间),令,则对任意,即,在,内有界.,例5. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,(P78 例5),证:,由泰勒公式得,两式相减 , 得,例6.,设函数,上具有二阶导数，且满足,证：,故序列,发散.,(2007 考研）,第六讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用,例1,求证，存在,使,设,可导，且,在,连续，,证：逆向分析做辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,2. 证明有关中值问题的结论,例2. 设函数,在,上二阶可导, 且,证明至少存在一点,使,得,证: 类比设辅助函数,因,在,上满足罗尔定理条件,所以存在,使,因此,在,上满足,罗尔定理条件,故必存在,使,即有,例3. 设函数,在,上连续, 在,但当,时,内可导,且,求证对任意,自然数 n , 必有,使,分析: 在结论中换 为,得,因,所以,证: 两边积分设辅助函数,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此必有,使,即,例4. 设,且在,内可导, 证明,至少存在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,例5. 设,至少存在一点,使,证: 问题转化为证,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,例6 设,成立。,解： 原式变形为,令,由题意和基本初等函数性质可知，,满足柯西中值定理条件,有,等式成立。,例7. 试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例7. 试证至少存在一点,使,法2 令,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,例8. 设,在,上连续, 在,证明存在,内可导,且,使,证: 方法1（逆向分析法）,因为所证结论左边为,设辅助函数,由于,上满足拉氏中值定理条件,且,易推出所证结论成立 .,在,(参考p81例10),方法2 . （常数k值法）令,因此可考虑设辅助函数,由于,在,上满足罗尔定理条件,故存在,使,由此可推得,故所证结论成立.,例9. 设,在,上连续, 在,证明存在,内可导,且,使,证:,转化为证,设辅助函数,由于它在,满足,拉氏中值定理条件,即证,因此存在,使,再对,转化为证,在,上用拉氏中值定理 ,则存在,使,因此,例10.,且,试证存在,证: 欲证,因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入 , 化简得,故有,即要证,例11. 设,在,上连续, 在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证:,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,即,例12. 已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,故存在,使,即,(2005 考研）,内可导, 且,(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在,使,已知函数,例13. 设函数,在,上三阶可导, 且,设,使,证法一: 因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式 , 得,阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,例14. 设函数,证:,据泰勒定理, 存在,使,由此得,即有,(2007 考研）,情形1.,则有,内具有二,法2.,应用罗尔定理得,即有,阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,情形2.,因此据零点定理, 存在,即有,则有,设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,例1. 如果方程,证明方程,有一个正根,有一个小于,的正根。,证：,又,由罗尔定理可知在,故,4.判别方程根的存在唯一性,例2. 设实数,满足下述等式,证明方程,在 ( 0 , 1) 内至少有一,个实根 .,证: 令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例3. 设函数,在,上二阶可导, 且,证明方程,内有且仅有一根 . (P80 例9),证: 在,在,上,由泰勒公式可知,因,所以,又因,利用,的单调性及连续函数介值,定理 , 可知,在,内有且仅有一根 .,例1. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,3. 证明恒等式或不等式,例2. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,证: 设,中值定理条件,即,故,因此应有,例3. 证明不等式,设,证明对任意,有,证：,例4,不妨设,第六讲(一元微分学之三) 不等式的证明方法 (第二章第四节),一.不等式的证明方法指导,1.利用导数证明不等式的常用方法,(1) 利用导数定义 ;,(2) 利用函数的单调性 ;,(3) 利用函数的极值和最值 ;,(4) 利用函数的凹凸性 ;,(5) 利用微分中值定理 ;,(6) 利