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2019/4/19,同济高等数学课件,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章,2019/4/19,同济高等数学课件,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,2019/4/19,同济高等数学课件,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,2019/4/19,同济高等数学课件,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,2019/4/19,同济高等数学课件,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,2019/4/19,同济高等数学课件,例4. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,2019/4/19,同济高等数学课件,例5 . 设,解:,2019/4/19,同济高等数学课件,例6. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,2019/4/19,同济高等数学课件,规律,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼茨(Leibniz) 公式,规律,规律,用数学归纳法可证,2019/4/19,同济高等数学课件,例7.,求,解: 设,则,代入莱布尼茨公式 , 得,2019/4/19,同济高等数学课件,例8. 设,求,解:,即,用莱布尼茨公式求 n 阶导数,令,得,由,得,即,由,得,2019/4/19,同济高等数学课件,内容小结,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼茨公式,高阶导数的求法,如下列公式,2019/4/19,同济高等数学课件,思考与练习,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,2019/4/19,同济高等数学课件,(3),提示: 令,2019/4/19,同济高等数学课件,解:,2019/4/19,同济高等数学课件,各项均含因子 ( x 2 ),2. (填空题) (1) 设,则,提示:,(2) 已知,任意阶可导, 且,时,提示:,则当,2019/4/19,同济高等数学课件,3. 试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4 ),作业 P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2
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