人大版-微积分---第一章-函数.ppt

刻苦 勤奋 求实 创新,祝新学期取得新的进步！,引言,（一）上大学学什麽？,珍惜时光,三个方面,学会自学,尝试研究性的学习方法：,提出问题、研究问题、解决问题,注重持续性学习：,有计划地安排学习,做人之道, 治学之方, 健身之术,学会向书本、老师、周围同学,（二）学数学学什麽？,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,（研究对象）,（论证方法）,（应用）,假设,结论,logic,理性 思维,关于学习数学的要求 搞清概念，侧重思路 适当做题，掌握基本 广泛联想，多方应用,（三）这个学期学什麽？,一元函数微分,利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质,极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算 微分学应用,一元函数积分,不定积分 定积分概念与计算 积分学应用,简单微分方程,多元函数,偏导数 重积分,交作业时间： 星期一,莫兴德 广西大学 数信学院,Email:,微 积 分,微 积 分,在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论简单的量的关系，尤其只讨论常量和固定图形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家牛顿(I.Newton 1643-1727)和法国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今后要学习的课程。,链接目录,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第一章 函数,集合 函数概念 函数的几种特性 反函数 复合函数 初等函数,函数-集合,集合是指具有特定性质的一些事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素. a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)； a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).,集合定义,函数-集合,例子,1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。,2. 彩电、电冰箱、VCD。,3. x2-5x+6=0的根。,集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。,由有限个元素构成的集合，称为有限集合。,由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；,4. 全体偶数。,函数-集合,集合的表示法,1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。,例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：,A=2,3,注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。,函数-集合,2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：,A=a|P(a),例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：,A=x|x2-5x+6=0,例：全体实数组成的集合通常记作R，即：,R=x|x为实数,函数-集合,子集,如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A),如果A B且或AB，则称A与B相等。,AA即集合A是其自己的子集。 传递性 AB、B C 则A C。 A，即空集是任何集合A的子集。,函数-集合,全集与空集,所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。,不含任何元素的集合称为空集，记为： 。,例1：x2+1=0实数根集合为空集。,例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。,注：0及都不是空集，前者有元素0，后者有元素。,函数-集合,集合的运算,集合的并：AB=x|x A 或x B,集合的交：A B=x|x A 且x B,集合的差：A-B=x|x A 且x B,函数-集合,区间,在一条直线上指定了一点作为原点O，再指定了正向，此外又规定了单位长度，这条直线就称为数轴。 数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x，就是指数轴上与数x对应的那个点。,函数-集合,闭区间：a,b=x|axb,开区间：(a,b)=x|axb,左闭右开区间：a,b)=x|axb,左开右闭区间：(a,b=x|axb,有限区间,函数-集合,a, + )=x|ax,(- ,b=x|xb,(- ,b)=x|xb,无限区间,实数集 (- ,+)=x | - x+ ,(a, +)=x|ax,函数-集合,邻域,(a,)=x| |x-a| =x|a-xa+=(a-,a+) 称为点a的邻域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。,例：(2 ,1 )= x | |x-2|1 =x | 1x3 =( 1, 3),函数-集合,空心邻域,( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或 axa+ =(a- , a)U(a , a+ ) 称为点a的空心邻域。,例： U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或2x3 =( 1,2)U(2,3),函数-函数概念,定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，若对于x D，变量y按照确定的法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数,记作,自变量,因变量,函数-函数概念,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定:如果不考虑函数的实际意义，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值，称为函数的自然定义域。,函数-函数概念,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,定义:,函数-函数概念,几个特殊的函数举例,(1) 符号函数,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 x 的最大整数,阶梯曲线,函数-函数概念,非负小数部分函数 取整函数 y=(x)=x-x x=7/3时,x=2，(x)=0.5 x=1/3时,x=0，(x)=1/3 x=-8/5时,x=-2，(x)=0.4,函数-函数概念,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,函数-函数概念,(5)绝对值函数,定义域R,值域,函数-函数概念,y=x,y= x2,1,y= x2 /x,函数-函数概念,例子,例1：确定函数y= 的定义域。,lg(3x-2),1,lg(3x-2) 0,3x-20,3x-2 1,x2/3,x 1,D=(2/3,1) (1,+),例2：确定函数y=arcsin 的定义域。,25-x2,1,x-1,5,+,解：,解：,x-1,5,1,25-x2 0,25-x2 0,-4x 6,|x-1| 5,25-x2 0,-5x 5,D=-4, 5),函数-函数概念,lg(3x-2),1,y=,25-x2,1,x-1,5,+,y=,函数-函数概念,例3：确定函数y= 的定义域。,lntgx,1,lntgx 0,tgx 0,tgx1,x ( k , k + ),解：,xk +,2,2,x(k + , k + ),4,2,x (k + , k + ), k=0, 1, 2, 3, 为所求的定义域,4,2,函数-函数的性质,1函数的有界性:,有界,无界,函数-函数的性质,例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界的。 因为|sinx| 1。,例2:f(x)=1/x在(0 ,1)内是无界的。在1,+)内有界。,例3:,函数-函数的性质,2函数的单调性:,函数-函数的性质,函数-函数的性质,例1:判断函数y=x3的单调性。,解：对于任意的xl、x2 ，设xlx2,x23 -x130,所以x23 x13 ，故 y=x3在(- ,+)是单调增加的。,当 x1 x2 0 时 x12 + x1 x2 + x22 0 所以f(x2)-f(x1)0,f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22),当 x1 x2 0 所以f(x2)-f(x1)0,函数-函数的性质,例2:判断函数y=2x2+1的单调性。,解：xl、x2 R ，设xlx2,(x1+x2)0,当 xl、x2 (- ,0,f(x1)-f(x2)=(2x12+1)-(2x22+1) = 2(x12-x22) = 2(x1-x2)(x1+x2),f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)单调减少,(x1+x2)0,当 xl、x2 0,+ ),f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)单调增加,所以在(-,+)内，不是单调函数,函数-函数的性质,3函数的奇偶性:,偶函数,函数-函数的性质,奇函数,函数-函数的性质,例1:判断函数y=x4 - 2x2 的奇偶性。,解：,f(-x)=(-x)4 2(-x)2 =x4 - 2x2 =f(x), y=x4 - 2x2 是偶函数。,例2:判断函数y=1/x 的奇偶性。,解：,f(-x)=1/(-x) = - (1/x) = - f(x), y=1/x 是奇函数。,例3:判断函数y=x3 +1 的奇偶性。,解：,f(-x)=(-x)3 +1 = -x3 +1, y=x3 +1 既不是奇函数又不是偶函数。, f(x),-f(x),函数-函数的性质,D为函数f(x)的定义域，如果存在一个不为零的数l ，xD值，xl D，且f(x+l )=f(x) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，l 叫做f(x)的周期。 通常，我们说周期函数的周期是指最小正周期。,例1:函数y=sinx, y=cosx, 是周期函数，周期为2 。,4函数的周期性:,函数-反函数,设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 如果yW都有一个确定且满足y=f(x)的x D与之对应，其对应规则为f -1,定义在W上的函数x= f -1(y)称为y=f(x)的反函数。,函数y=f(x)的定义域为D，值域为W，x为自变量，y为因变量。,函数x= f -1(y)的定义域为W，值域为D，y为自变量，x为因变量。 若改x为自变量，y为因变量， x= f -1(y) 写成y= f -1(x) 。,函数-反函数,函数-反函数,y= f (x) 与y= f -1(x)的关系是x、y互换，它们的图形关于y=x对称。,y= f -1(x)。不一定是单值函数。,y= f (x)单调单值，则y= f -1(x)单调单值。,函数-反函数,例1:求y=3x-1的反函数。,解：, y=3x-1, x、y互换得y= f -1(x) = (x+1)/3为反函数。,x=(y+1)/3= f -1(y),函数-复合函数,设y=f(u)的定义域、值域分别是Df 、Wf,u= (x)的定义域、值域分别是D 、W,若 Df W 则称y=f (x)为复合函数 其中: x为自变量， y为因变量， u为中间变量。,复合函数的定义域 D=x | xD , (x) Df W ,复合函数的值域 W=y | yWf ,且存在uDf W 使f(u)= y,或W=y | y= f (x) ,x D,函数-复合函数,符合条件：Df W ,函数-复合函数, -1 x 2 即-1,2为所求的定义域,函数-复合函数,函数-复合函数2,函数-复合函数,例5:,函数-复合函数,函数-复合函数,函数-基本初等函数,1.幂函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,函数-基本初等函数,2.指数函数,函数-基本初等函数,3.对数函数,函数-基本初等函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,函数-基本初等函数,正切函数,余切函数,函数-基本初等函数,正割函数,余割函数,函数-基本初等函数,5.反三角函数,函数-基本初等函数,函数-初等函数,下面五类函数基本初等函数：,冪函数 y=x （ 是常数, 0 ）,指数函数 y=ax (a是常数,a0,a1),对数函数 y=logax (a是常数,a0,a1),三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;,反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx ., 0,过(0,0),(1,1),在(0, +)递增, 0,过(1,1),在(0, +)递减,D=(-,+)，W=(0, +),过(0,1),a1递增,0a1递减,D=(0,