2019版高考数学二轮复习限时检测提速练18定点定值与探索性问题.docx

限时检测提速练(十八)定点、定值与探索性问题A组1(2018威海三模)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F，直线y4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|2|PQ|(1)求p的值；(2)已知点T(t，2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标解：(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义，|QF|x0，又|QF|2|PQ|，即2x0x0，解得x0，将点Q代入抛物线方程，解得p4(2)由(1)知C的方程为y28x，所以点T坐标为，设直线MN的方程为xmyn，点M，N，由得y28my8n0，所以y1y28m，y1y28n，所以kMTkNT，解得nm1所以直线MN方程为x1m(y1)，恒过点(1，1)2(2018咸阳三模)已知椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过坐标原点作两条直线l1，l2，直线l1交椭圆于A，C，直线l2交椭圆于B，D，且|AB|2|BC|2|CD|2|DA|224，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，求证：kk为定值(1)解：e，又a2b2c2，将点(，1)代入椭圆M方程1得到a2，b，c，所以椭圆M的方程为1(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD是平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，D(x2，y2)，由1，得y22，|AB|2|BC|2|CD|2|DA|22(|AB|2|DA|2)2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)24(xxyy)424，所以xx4，kk，故kk为定值3(2018三湘名校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，M为焦点是的抛物线上一点，H为直线ya上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形(1)求椭圆C的方程；(2)直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于点D，E，求证：直线DE过定点(1)解：由题意知，解得椭圆C的方程为y21(2)证明：设点H(m，2)(m0)，易知A(0,1)，B(0，1)，直线HA的方程为yx1，直线HB的方程为yx1联立得x2x0，xD，yD，同理可得xE，yE，直线DE的斜率为k，直线DE的方程为y，即yx，直线DE过定点4(2018南充三模)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F(2，0)左顶点A1(4,0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)由题意可得，a4，c2, 由a2b2c2，得b2422212所以椭圆C的方程为1(2)当APQBPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的方程为y3k(x2)联立消y得(34k2)x28(3k2k2)x4(4k2912k)480所以2x1.同理2x2所以x1x2，x1x2所以kAB所以AB的斜率为定值B组1如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1k2k1k2，证明：直线BC恒过定点(1)解：设抛物线E的标准方程为x2ay，a0，将A(2,1)代入得，a4所以抛物线E的标准方程为x24y，准线方程为y1(2)证明：由题意得，直线AB的方程为yk1x12k1，直线AC的方程为yk2x12k2，联立消去y得x24k1x4(12k1)0，解得x2或x4k12，因此点B(4k12，(2k11)2)，同理可得C(4k22，(2k21)2)于是直线BC的斜率kk1k21，又k1k2k1k2，所以直线BC的方程为y(2k21)2(k1k21)x(4k22)，即y(k1k21)x2k1k21(k1k21)(x2)3故直线BC恒过定点(2，3)2(2018广东联考)已知椭圆C1：1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y28x的焦点(1)若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1,1)，求直线MN的斜率；(2)若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值解：因为抛物线C2：y28x的焦点为(2,0)，所以8b24，故b2所以椭圆C1：1(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得0，又MN的中点为(1,1)，所以x1x22，y1y22. 所以显然，点(1,1)在椭圆内部，所以直线MN的斜率为(2)椭圆右焦点F2(2,0)当直线AB的斜率不存在或者为0时，当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消去y并化简得(12k2)x28k2x8k280，因为(8k2)24(12k2)(8k28)32(k21)0，所以x1x2，x1x2所以m，同理可得n所以为定值3(2018张家界三模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C过点.过点(1,0)做两条相互垂直的直线l1、l2分别与椭圆C交于P、Q、M、N四点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意知，解得故椭圆C的方程为1(2)，S、T分别为MN、PQ的中点当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线l1的方程为yk(x1)，则直线l2的方程为y(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立得(2k21)x24k2x2k240，24k2160，x1x2，x1x2，PQ中点T的坐标为；同理，MN中点S的坐标为，kST，直线ST的方程为y ，即y，直线ST过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y0，也过点；综上所述，直线ST过定点4(2018淮北二模)设P，Q，R，S是椭圆M：1(ab0)的四个顶点，菱形PQRS的面积与其内切圆面积分别为12，.椭圆M的内接ABC的重心(三条中线的交点)为坐标原点O(1)求椭圆M的方程；(2)ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解：(1)菱形PQRS的面积与其内切圆面积分别为12，SPQRS2a2b12，联立解得a212，b29，故所求椭圆M的方程为1(2)当直线AB斜率不存在时，O为ABC的重心，C为椭圆的左、右顶点，不妨设C(2，0)，则直线AB的方程为x，可得|AB|3，C到直线AB的距离d3，SABC|AB|d当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(34k2)x28kmx4m2360，则64k2m2