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第1讲坐标系与参数方程1. (2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程解析:(1)由xcos ,ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0),半径为2的圆由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以2,故k或k0.经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以2,故k0或k.经检验,当k0时,l1与C2没有公共点;当k时,l2与C2没有公共点综上,所求C1的方程为y|x|2.2(2018高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解析:(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时,l与O交于两点当时,记tan k,则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1,解得k1或k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP,且tA,tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ,tPsin .又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.3(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos sin )0,M为l3与C的交点,求M的极径解析:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:yk(x2);消去参数m得l2的普通方程l2:y(x2)设P(x,y),由题设得消去k得x2y24(y0),所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02,)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ,从而cos2,sin2.代入2(cos2sin2)4得25,所以交点M的极径为.1. 已知椭圆C:(为参数),A,B是椭圆C上的动点,且满足OAOB(O为坐标原点)以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点D的极坐标为(4,)(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程;(2)利用椭圆C的极坐标方程证明为定值,并求AOB面积的最大值解析:(1)点D的直角坐标为(2,2)由题意可设点A的坐标为(2cos ,sin ),则AD的中点M的坐标为(1cos ,sin ),所以点M的轨迹E的参数方程为(为参数),消去可得E的普通方程为(x1)24(y)21.(2)证明:椭圆C的普通方程为y21,化为极坐标方程得232sin24,变形得 .由OAOB,不妨设A(1,),B(2,),所以(定值)所以AOB的面积S12 .易知当sin 20时,AOB的面积取得最大值1.2已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为4sin()(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若P(x,y)是直线l与圆面4sin()的公共点,求xy的取值范围解析:(1)因为圆C的极坐标方程为4sin(),所以24sin()4(sin cos )又2x2y2,xcos ,ysin ,所以x2y22y2x,故圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)设zxy.由圆C的方程x2y22x2y0,得(x1)2(
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