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上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 习题习题 3 1. 一个箱中装有 8 只形状一样玻璃杯,其中 5 只玻璃杯外面画着兰花,3 只玻 璃杯外面画着梅花。现从中任取 3 只杯子,以X表示取到兰花的杯子数,以 Y表示取到梅花的杯子数,求X和Y的联合分布律。 解:解: 12 53 33 88 111 0,3,1,2 5656 CC P XYP XY CC = 5 , 213 535 33 88 3010 2,1,3,0 5656 CCC P XYP XY CC =, X 和Y 的联合分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0 0 0 10 56 1 0 0 30 560 2 0 15 560 0 3 1 56 0 0 0 2. 一个箱子中装有 20 只电动剃须刀,均用相同的小盒装好,其中有 3 只次品。 在放回抽样和不放回抽样的情况下,定义随机变量 X 和Y 为 0, 1, X = 如第一次取出的是正品 如第一次取出的是次品 ,。 0, 1, Y = 如第二次取出的是正品 如第二次取出的是次品 分别写出两种情况下,X和Y的联合分布律。 解:解:放回抽样: 17 1728917 351 0,0,0,1 20 2040020 20400 P XYP XY = , 3 17513 39 1,0,1,1 20 2040020 20400 P XYP XY = , X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 289 40051 400 1 51 4009 400 不放回抽样: 17 1627217 351 0,0,0,1 20 1938020 19400 P XYP XY = , 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 3 17513 26 1,0,1,1 20 1938020 19380 P XYP XY = , , X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 272 38051 380 1 51 3806 380 3. 设随机变量(),X Y的概率密度为: ()804, 0 ( , ) 0 Axyxy f x y 4 = 其它 , ( )() 0 ,0 , 0, y yy Y e dxyey fyf x y dx + = = 其它 。 7. 随机变量 X 为在 0,1,2,8,9 这 10 个数中任取的一个数,在 X 到 9 之间再任取一数,记为Y ,求条件分布律P YK Xi=。 解:解: 11 , 1010 91 P XiP Xi Yk i = 1 + ,所以条件分布律为 1 , 10 0, ki P Yk Xii ki = = 其它 , (1) 求X和Y的联合概率密度; (2) 设含有a的二次方程 2 20aXaY+=,试求a有实根的概率。 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 解:解:(1) ( ) 1, 01 0, X x fx = 其它 。 (2) 2 1 22 2 00 1 4400.8556 2 y x PXYP XYdxedy = 。 16. 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 10 ( ) 0 X 1x fx = 其它 , 0 ( ) 0 y Y ey fy = 其它 求随机变量YXZ+=的概率密度。 解:解:因独立,故, YX, = + 1 0 )()()()(dxxzfdxxzfxfzf YYXZ 令xzt=,则。 = z z YZ dttfzf 1 )()( 当时,0z z z z t Z eedtezf =) 1()( 1 故。 = 其它 , 设各周的需要量是相互独立的,求 (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度。 解:解:(1)因为各周需要量相互独立,所以两周需要量ZXY=+的概率密度为 () () 3 0 ,0 ( )( )() 6 0, z z xxz ZXY z xezx edxez fzfx fzx dx + = = 其它 。 (2)类似可得,三周需要量的概率密度为 5 ,0 ( ) 120 0, z Z z ez fz = 其它 。 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 18. 设随机变量(),X Y的概率密度为 () () () 1 ,0 ,2 0, x y xy ex y f x y + + = 其它 , (1)问X和Y是否相互独立? (2)求ZXY=+的概率密度。 解:解:(1) ( )() () () () 0 11 1, ,22 0, x yx X xy edyxex fxf x y dy + + + 0+=+ = 其它 , 同理,( ) () 1 1, 2 0, y Y yey fy + = 其它 0 ,显然X和Y不相互独立。 (2) 2 0 11 ,0 ( )( ,)22 0, z zz Z ze dxz ez fzf x zx dx + = = 其它 。 19. 设X和Y是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布 () 2 0,N,试验证: 随机变量 22 ZXY+具有概率密度 = ( ) 2 22 exp,0 2 0, Z zz z fz = 其它 , 称Z 服从参数为的瑞利分布。 (0 ) 证:证:因X和Y相互独立,故()( )( ) 22 2 2 2 1 , 2 xy XY f x yfx fye + =。 设G表示区域 222 xyz+,则 22 ( ) Z FzP ZzPXYz=+。 当时,; 0z ( )0,( )0 Zz Fzfz= 当时,0z () 22 2 222 2 2 1 ( ), 2 xy Z GG FzP XYzf x y dxdyedxdy + =+= 22 22 2 22 2 00 1 1 2 rz z derdre = , 2 2 2 2 ( )( ) z ZZ z fzFze =,故 ( ) 2 22 exp,0 2 0, Z zz z fz = 其它 。 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 21. 对某种电子装置的输出测量了 5 次,得到的结果为 125 ,XXX?。设它们是 相互独立的随机变量且都服从参数2=的瑞利分布。 (1)求() 125 max,ZXXX=?的分布函数; (2)求4P Z 。 解:解:(1) ( )( ) 22 22 0 exp1 exp 28 i xx X tt Fxf t dtdt = x , ( )( )( ) 2 15 5 8 1, 0, z ZXX ez FzFzFz 0 = ? 其它 。 (2) ( ) 2 5 4 8 414110.5167 Z P ZFe = = = 。 22. 设随机变量 X 和Y 相互独立,且服从同一分布,密度函数为 ( ) () () 2 1 , 1 f xx x = + + ) 。 试证:(0.5 XY+也有同样形式的密度函数。 证:证:令()0.5ZXY=+,记2Gxyz+为区域,则Z的分布函数 ()( )0.5 Z FzP ZzPXYz=+ 2 ( , )( , ) z y G f x y dxdyxyf x y dx dy + = 先 后 22 ( , )( ) z yz y f x y dy dxg x dx + = 记为, 故 ( )( )2 ()2(2, )2( ,2) ZZ fzFzg zyfzy y dyf xzx dx + = 或。 若X与Y独立,即)()(),(yfxfyxf YX =,则 ( )2(2)( )( )2( )(2) ZXYZXY fzfzy fy dyfzfx fzx + = 或dx。 ()()() 222 11 ( )2( )(2)2 11 12 ZXY fzfx fzx dxdx 1 xz zx + = + + 即(0.5)XY+也有同样形式的密度函数。 25. 设随机变量 X 和Y 相互独立,且()() 12 ,XY ,这里的 12 , 均大于 0,则() 12 ,XY+。 注:注:如(,X) ,则分布的密度函数为 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 ( )( ) 1 ,0 0,0 x xe x f x x = 。 证:证:因独立,故YX,( )( )() ZXY fzfx fzx dx + = () () () () () 1111 2 2 11 1 1 1 11 0 12 ,0 0, z z x x z ze z zxexe dx + += 其它 , 所以() 12 ,XY+。 26. 设随机变量(),X Y的分布律如下表所示:(题误) Y 0 1 2 3 4 X 0 0.00 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.02 0.03 0.06 0.07 0.08 2 0.02 0.04 0.06 0.06 0.07 3 0.03 0.03 0.05 0.07 0.07 (1)求22 ,30P XYP YX=。 ()max,X Y=V的分布律; (2)求 (3)求()min,UX=Y的分布律; (4)求WX的分布律。 Y=+ 解:解:(1) 20.25,2,20.06,22P YP XYP XY= 2,26 22 P XY P Y = = =5 。 0,33 00.07,0,30.03,30 07 P XY P XP XYP YX P X = = = 。 (2)V的取值为 0,1,2,3,4。 00,0P VP XY=0, ()()()10,11,01,10.0P VPXYXYXY=8, 同理,20.23,30.38,40.31P VP VP V=,V的分布律为 V 0 1 2 3 4 p 0 0.080.230.380.31 (3)U的取值为 0,1,2,3。 ()()()00,00,14,0P UPXYXYXY=? 0.030.050.070.090.020.020.030.31=+=, 上海交通大学概率论与数理统计习题全解第三章 同理,10.31,20.24,30.

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