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第九章 正弦稳态电路的分析,主要内容: 阻抗和导纳的概念 电路的相量图 正弦稳态电路的分析方法 正弦稳态电路的功率,基本要求:,牢固掌握阻抗和导纳的概念 熟练应用正弦稳态电路的分析方法 熟练求解正弦稳态电路的功率,一、阻抗:无源二端元件上的电压相量与电流相量之比称为阻抗,记为Z。,其中,单位为欧姆 (),称为欧姆定律的相量形式,9-1 阻抗和导纳,即:,分别称为复阻抗的模和阻抗角(幅角)。,Z在复平面上可用直角三角形表示,如图(a),Z可等效为两个元件的串联,如图(b),X0( 0) ,电路呈感性,称为感性电路;,X0( 0) ,电路呈容性,称为容性电路。,1、电阻的阻抗,2、电容的阻抗,即为电阻,为虚数,3、电感的阻抗,为虚数,电容、电感的阻抗均为虚数,可统一表示为Z=jX,4、电抗,把X称为电抗,即X=ImZ。,二、导纳:无源二端元件上的电流相量与电压相量之比称为导纳,记为Y。,即,或,单位为西门子 (S),也称之为欧姆定律的相量形式,1、电阻的导纳,即为电导,2、电容的导纳,3、电感的导纳,4、电纳,电容、电感的导纳均为虚数,可统一表示为Y=jB,把B称为电纳,即B=ImY。,(1) 容纳,(2) 感纳,Y在复平面上可用直角三角形表示,如图(a),Y可等效为两个元件的并联,如图(b),B0( 0) ,电路呈容性,称为容性电路;,B0( 0) ,电路呈感性,称为感性电路。,阻抗和导纳互为倒数。,三、无源二端网络,复阻抗的模和阻抗角分别为:,二端网络端口电压与电流的有效值之比等于阻抗的模;端口电压与电流的相位差等于阻抗角。,四、阻抗和导纳等效变换,或,(1) ZY,因此并联相量模型的电导和电纳分别为:,注意:G并非是R的倒数;B也不是X的倒数。,(2) YZ,因此串联相量模型的电阻和电抗分别为:,注意: R 并非是G的倒数; X也不是B 的倒数。,阻抗的串联:若干个阻抗串联的等效阻抗等于各串联阻抗之和。,导纳的并联:若干导纳并联的等效导纳等于各并联导纳之和。,五、阻抗的串联和并联,例1、 RLC串联电路中,,R=2,L=2H,C=0.25F,求电流i(t)及各元件的电压。,解:,ZR=R=2,相量模型如图所示,,可求得:,Z=ZR+ZL+ZC=2+j4-j2=2+j2=2.8345,各相量对应的正弦量:,可以看到,uL(t)的振幅大于电源电压us(t)的振幅。,各电压及电流的相量图如图所示。,图(a)和图(b)实质上是一样的,但图(b)更清楚地,表明了,的关系。,例2、电路相量模型如图所示,求 ,并画电流相量图。,解:,9-2 电路的相量图,相量图可以直观的显示各相量之间的关系,并可用来辅助电路的分析计算。,相量图的一般做法:,先选定参考相量(初相为0),根据支路元件的VCR确定各相量之间的夹角,根据KCL方程和KVL方程确定各相量的数量关系。,9-3 正弦稳态电路的分析,1、复杂正弦交流电路的基本分析方法是“相量法”。,基本思路:,3、熟练运用相量图,可使分析问题的过程大大简化。,2、在相量法中,可以运用分析直流电路的各种方法和相关的定律、原理。电压和电流以相应的相量表示,电阻、电感和电容及其组成的交流电路以复阻抗或复导纳表示,画出电路的等效相量模型。,例1、电路如图所示,R=5、XL=5、Xc=3,求:uc,解:,先画出等效的相量模型,如图,ZR=R=5,ZL=jXL= j5,ZC=jXC=- j3,方法1:网孔法(KCL和KVL),代入数据解得:,方法2:节点法,方法3:用戴维宁定理,Zo= ZL= j5,戴维宁等效电路如图所示,例2、图示电路中,电流表A1读数为10A,电压表V1读数为100V,求电流表A0和电压表V0的读数,并画出电流相量图。,解:,各电流、电压相量参考方向如图所示。,设,则:,电流表A0的读数为14.14A。,电压表V0的读数为141.4V。,电流相量图如图所示,例3、电路如图所示,已知:I1=10A、I2=102A U=220V 、R=5、R2=XL,求:I、XC、XL、R2,解:,以,为参考相量,,画出相量图,10,10,I=10A,UAB=U-UR =220-50=170V,9-4 正弦稳态电路的功率,任意无源单口网络端口电压为u(t),电流为i(t),如图所示。,等于网络端口瞬时电压与瞬时电流的乘积。,一、瞬时功率(吸收),为端口电压与电流的相位差角。,即网络等效阻抗Z=|Z|的阻抗角。,瞬时功率为两个分量的叠加,其一为恒定分量,另一为简谐分量。,波形图如图所示。,瞬时功率p有时为正,有时为负。,其平均值为正,平均来看网络是吸收功率。,p0时,网络吸收功率;,p0时,网络产生功率;,二、有功功率(平均功率),有功功率等于瞬时功率的恒定分量,,1、电阻元件, = 90,2、电感元件, = 0, = -90,3、电容元件,单位:瓦(W),4 、对于无源单口网络,消耗的有功功率,P = 网络内部各电阻消耗的有功功率的总和 = 端口处所接电源提供的有功功率,三、无功功率,物理意义:无功功率表明电源与动态元件之间能量往返的规模。,单位与功率单位不同,称为乏 ( var,无功伏安) 。,1、电阻元件, = 90,2、电感元件, = 0, = -90,3、电容元件,4、对于一般无源二端网络,网络等效阻抗为,Z=|Z| =R+jX,X 0, 0,电路呈电感性,Q 0 ;,X 0, 0,电路呈电容性,Q 0 。,四、视在功率,在电工技术中,把UI或1/2UmIm称为视在功率。,用S表示,即,单位伏安(VA),用来反映发电、变电等电气设备的容量。,有功功率、无功功率和视在功率三者关系:,总为正,不能体现电路的性质,要加上 “滞后”或“超前”字样。 滞后是指电流滞后电压, 0; 超前是指电流超前电压, 0。,当电路呈容性时, 0。,当电路呈感性时, 0;,称为网络的功率因数。,五、功率因数,端口电压与电流的相位差角 称为功率因数角。,对于无源二端网络,功率因数角即为网络等效阻抗Z的阻抗角。,在电感性电路两端并联合适的电容,可以在不改变电路吸收的有功功率的情况下,减小电路吸收的无功功率,提高电路的功率因数。,功率因数是衡量传输电能效果的一个重要指标,表示传输系统有功功率所占的比例。,提高功率因数的意义:,(1)减少输电线路损失。,(2)提高电气设备容量利用率。,定义电压相量与电流相量的共轭复数的乘积称为复功率或相量功率。,单位:伏安(VA),即,各种功率之间的关系:,若二端网络的电压相量和电流相量为,9-5 复功率,1、无源二端网络的三个相似三角形,2、功率守恒,例1、如图所示电路中,电路处于稳态,,试求电源提供的P、Q,并计算S、 。,解:,求电源之外网络的输入阻抗。,或,例2、图示电路为测量电感参数R、L的实验电路。已知电压表的读数为50V,电流表的读数为1A,功率表的读数为30W,试求R、L之值。,解:,U=50V, I=1A ,P=30W,解法1,S=UI=50 VA P=30W,=Arccos0.6=53.1,|Z| =U/I=50,R= |Z|cos =30,L= XL/=40/314=127 mH,解法2,XL= L =|Z|sin =40 ,例3、图示RL串联负载,接于频率为50Hz的电源上,U=220V,IL=0.4A,P =40W,(1)求电路吸收的无功功率和功率因数;,(2)求负载等效阻抗Z、等效电阻R、等效电感L;,(3)如果要求将功率因数提高到0.95,求电容C及线路电流I。,解:,(1),(2),(3),并联电容C的值为:,已知参数U、P、 cosZ 、 cosZ,9-6 最大功率传输,设电路如图所示,正弦电源的电压为,正弦电源的内阻抗为,负载阻抗为,为定值,作如下分析,1、负载的电阻和电抗均可独立变化,电路电流为:,电流有效值为:,则负载吸收的有功功率为,(2)再求使上式中PL为最大时的RL值,(1)由于XL只出现在分母中,对于任何RL值, 当 XL= -XS时分母值最小,此时功率为:,可得:RL=RS,因此,负载获得最大功率的条件是:,XL=-XS,及,RL=RS,即,满足这一条件时,称负载阻抗与电源内阻抗为最大功率匹配,或称为共轭匹配,也称最佳匹配。,负载阻抗与电源内阻抗互为共轭复数。,此时最大功率为,2、负载阻抗角固定,而模可以变化,3、只允许电抗XL一个参数变化,此时获得最大功率条件是,满足这一条件时,称负载阻抗与电源内阻抗为虚匹配。,注意:这里的电源与内阻抗可以是含源单口网络的戴维宁(南)等效电路或诺顿等效电路。,可求得,负载获得最大

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