2019春九年级数学下册二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教案1新版北师大版.docx

2.5 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)2理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)3通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想(难点)一、情境导入一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示现测得，当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离OC2.4m.当水位上升一定高度到达点F时，这时，离水面距离CF1.5m，则涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度在如图所示的直角坐标系中，只要求出点D的横坐标即可由已知条件可得到点D的纵坐标，又因为点D在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标你会求吗？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与x轴的交点坐标 已知二次函数y2x24x6，它的图象与x轴交点的坐标是_解析：y2x24x62(x22x3)2(x3)(x1)，设2(x3)(x1)0，解得x13，x21，它的图象与x轴交点的坐标是(3，0)，(1，0)故答案为(3，0)，(1，0)方法总结：抛物线与x轴的交点的横坐标，就是二次函数为0时，一元二次方程的解变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 判断抛物线与x轴交点的个数 已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值解析：(1)只需证明(m2)24m20即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m2)2.(m2)20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20，解得 x11，x2.当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数m的值为1或2.方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式0抛物线与x轴有两个交点变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 已知抛物线与x轴的交点个数，求字母系数的取值范围 已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，求k的取值范围解析：应分k30和k30两种情况进行讨论，(1)当k30即k3时，此函数是一次函数；(2)当k30，即k3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知b24ac0，求出k的取值范围即可解：当k3时，函数y2x1是一次函数一次函数y2x1与x轴有一个交点，k3；当k3时，y(k3)x22x1是二次函数二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，b24ac0.b24ac224(k3)4k16，4k160.k4且k3.综上所述，k的取值范围是k4.方法总结：由于k的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合 已知：抛物线yx2axa2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值解析：(1)利用关于x的一元二次方程x2axa20的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出x1、x2的平方和是xx(x1x2)22x1x2a22a43，由此可以求得a的值(1)证明：a24(a2)(a2)240，不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：x1x2a，x1x2a2，xx(x1x2)22x1x2a22a43，a1.方法总结：判断一元二次方程与x轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米(取47)?(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米(取25)?解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA1，OB6，BM4，所以点A的坐标为(0，1)，顶点M的坐标是(6，4)根据顶点式可求得抛物线关系式因为点C在x轴上，所以要求OC的长，只要把点C的纵坐标y0代入函数关系式，通过解方程求得OC的长要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB的长求解的方法有多种解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6)24，由已知：当x0时，y1，即136a4，所以a.所以函数表达式为y(x6)24或yx2x1；(2)令y0，则(x6)240，所以(x6)248，所以x14613，x2460(舍去)所以足球第一次落地距守门员约13米；(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意：CDEF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)所以2(x6)24，解得x162，x262，所以CD|x1x2|410.所以BD1361017(米)方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答三、板书设计二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题本节课注意发挥学生