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课时作业13变化率与导数、导数的计算 基础达标一、选择题1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析:f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3,f(x)3(x2a2)答案:C22019衡水调研曲线y1在点(1,1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析:y1,y,y|x12,曲线在点(1,1)处的切线斜率为2,所求切线方程为y12(x1),即y2x1.答案:A32019山西名校联考若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cosx Bf(x)x3x2Cf(x)12sinx Df(x)exx解析:A选项中,f(x)3sinx,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中,f(x)3x22x,其图象的对称轴为x,排除B选项;C选项中,f(x)2cosx,其图象关于y轴对称;D选项中,f(x)ex1,其图象不关于y轴对称,排除D选项答案:C42019郑州市质量检测曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1,则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1,3)解析:f(x)3x21,令f(x)2,则3x212,解得x1或x1,P(1,3)或(1,3),经检验,点(1,3),(1,3)均不在直线y2x1上,故选C.答案:C52019合肥市高三第一次质量检测已知直线2xy10与曲线yaexx相切(其中e为自然对数的底数),则实数a的值是()A. B1C2 De解析:由题意知yaex12,则a0,xlna,代入曲线方程得y1lna,所以切线方程为y(1lna)2(xlna),即y2xlna12x1a1.答案:B62019福建福州八县联考已知函数f(x)的导函数是f(x),且满足f(x)2xf(1)ln,则f(1)()Ae B2C2 De解析:由已知得f(x)2f(1),令x1得f(1)2f(1)1,解得f(1)1,则f(1)2f(1)2.答案:B72019湖南株洲模拟设函数yxsinxcosx的图象在点(t,f(t)处的切线斜率为g(t),则函数yg(t)图象的一部分可以是()解析:由yxsinxcosx可得ysinxxcosxsinxxcosx.则g(t)tcost,g(t)是奇函数,排除选项B,D;当x时,y0,排除选项C.故选A.答案:A82019广州市高三调研考试已知直线ykx2与曲线yxlnx相切,则实数k的值为()Aln2 B1C1ln2 D1ln2解析:由yxlnx知ylnx1,设切点为(x0,x0lnx0),则切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0),因为切线ykx2过定点(0,2),所以2x0lnx0(lnx01)(0x0),解得x02,故k1ln2,选D.答案:D92019广东深圳模拟设函数f(x)xb,若曲线yf(x)在点(a,f(a)处的切线经过坐标原点,则ab()A1 B0C1 D2解析:由题意可得,f(a)ab,f(x)1,所以f(a)1,故切线方程是yab(xa),将(0,0)代入得ab(a),故b,故ab2,故选D.答案:D102019宝安,潮阳,桂城等八校第一次联考已知函数f(x)x2的图象在点(x0,x)处的切线为l,若l也与函数ylnx,x(0,1)的图象相切,则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0解析:由题意,得f(x)2x,所以f(x0)2x0,f(x0)x,所以切线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx.因为l也与函数ylnx(0x1)的图象相切,设切点坐标为(x1,lnx1),易知y,则切线l的方程为yxlnx11,则有又0x11,所以1ln2x0x,x0(1,)令g(x)x2ln2x1,x1,),则g(x)2x0,所以g(x)在1,)上单调递增,又g(1)ln20,g()1ln20,所以存在x0(,),使得g(x0)0,故x0,选D.答案:D二、填空题112018全国卷曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为_解析:因为y,y|x12,所以切线方程为y02(x1),即y2x2.答案:y2x212过点P(1,1)与函数y相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为_解析:y,y,k1,切线方程y1(x1)即xy20,与x轴交点为(2,0),与y轴交点为(0,2),S222.答案:213已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线,则实数a_.解析:设切点为(x0,y0),则f(x0)ex01,ex0a,又ex0x01,x02,ae2.答案:e2142019陕西省高三教学质量检测已知函数f(x)2lnx和直线l:2xy60,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为_解析:如图,在同一平面直角坐标系内分别作出函数f(x)的大致图象以及直线l,并平移直线l使之与函数f(x)的图象恰好相切于点Q,由图易知,当且仅当点P与点Q重合时,点P到直线l的距离最短设点Q(x0,y0),则由f(x),可得f(x0)2,解得x01,所以y0f(x0)f(1)0,所以Q(1,0),故点Q到直线l:2xy60的距离为,即.故点P到直线l的距离的最小值为.答案:能力挑战152019安徽淮南模拟已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)在函数f(x)x2lnx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由解析:(1)由题意可得f(1)1,且f(x)2x,f(1)211,则所求切线方程为y11(x1),即yx.(2)假设存在两点满足题意,
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