2016_2017学年高中数学第二章平面向量2.3.1数乘向量学案北师大版必修4.docx

3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量1理解向量的数乘运算及其几何意义(重点)2理解向量共线定理，并应用其解决相关问题(难点)3会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行(易混点)基础初探教材整理数乘向量阅读教材P82P84“例3”以上部分，完成下列问题1数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)向量数乘的运算律设a，b为向量，为实数，则向量数乘满足：结合律：(a)()a；分配律：()aaa；(ab)ab.2共线向量定理(1)判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量a的积还是向量()(2)实数与向量a的和a与差a都是向量()(3)对于非零向量a，向量6a与向量2a方向相反()(4)向量8a的模是向量4a的模的2倍()(5)若ba(a0)，则a与b方向相同或相反()(6)若ab，则存在R，使得ba.()【解析】由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)正确；(5)当b0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a0，b0时，就不存在实数，使ba，故(6)错误【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型向量的线性运算计算：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【精彩点拨】根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算【自主解答】(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.1向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数2向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解再练一题1化简：(1)5(3a2b)4(2b3a)；(2)(a2b)(3a2b)(ab)【解】(1)5(3a2b)4(2b3a)15a10b8b12a3a2b.(2)(a2b)(3a2b)(ab)abab.向量共线定理及应用已知e1，e2是不共线的向量，a3e14e2，b6e18e0，判断a与b是否共线？【精彩点拨】利用向量共线定理进行判断【自主解答】若a与b共线，则存在R.使ab，即3e14e2(6e18e2)，所以(36)e1(48)e20.因为e1与e2不共线，所以所以不存在所以a与b不共线1本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值2向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线再练一题2设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值【解】(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2.2e18e2，2，又与有公共点B.A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，由3e1ke2，且B，D，F三点共线，得，即3e1ke2e14e2，得解得k12.探究共研型向量线性运算的综合应用探究1若存在实数，使，则A，B，C三点的位置关系如何？【提示】A，B，C三点共线探究2根据数乘向量的几何意义由()可以得到什么结论？【提示】与共线探究3向量共线定理有哪两个方面的应用？【提示】(1)判断两个向量共线，若存在一个实数，使ba(a0)，则a与b共线(2)表示两个共线向量之间的关系若a与b共线(a0)则必存在一个实数.使ba.已知O是坐标原点，过OAB的重心的直线交OA于点P，交OB于点Q，a，b，m a，n b，求证：3.【精彩点拨】解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理把用表示出来，再用向量求和法则，将其用a，b表示出来，然后表示出，最后利用Q，G，P三点共线，即可得证【自主解答】如图，设G是ABC的重心，连接OG并延长，交AB于点F，则(ab)(ab)，(ab)n bab，m a(ab)ab.Q，G，P三点共线，则存在实数k使k，abkakb，化简得mn3mn，3.1由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用2当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解再练一题3已知ABC中，AB5，AC5，BC6，内角平分线的交点为O，若，求实数与的和【解】如图，ABAC5，由已知可得，D为BC的中点，由角的平分线性质定理知，即.于是，()，即，.故.构建体系1设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同 D|a|a【解析】a与2a的方向相同【答案】C2已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是() 【导学号：66470045】AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【解析】a2b(5a6b)(7a2b)3a6b3(a2b)3.所以A，B，D三点共线【答案】A3若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a_b.【解析】因为|a|5，|b|7，所以.又因为b与a的方向相反，所以ab.【答案】4在四边形ABCD中，2，则四边形ABCD为_(填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一)【解析】因为2，所以四边形ABCD中有ABDC，AB2CD，所以