2018高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明（1）学案苏教版.docx

2.2.2间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识链接1有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对2反证法主要适用于什么情形？答要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形预习导引1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明2反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)3反证法步骤反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真4反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等5反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n1)个至少有(n1)个结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立结论词都是一定是p或qp且q反设词不都是不一定是綈p且綈q綈p或綈q要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明假设，都不小于2，即2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2与已知xy2矛盾，中至少有一个小于2.规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误跟踪演练1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明假设a，b，c，d都是非负数，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.这与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数要点二用反证法证明不存在、惟一性命题例2求证对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yax(a为常数)对称证明假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点A、B在直线l：ykx1上；(3)线段AB的中点在直线yax上，所以由得(3k2)x22kx20.当k23时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意由、得a(x1x2)k(x1x2)2，由知x1x2，代入整理得：ak3，这与矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称规律方法证明“惟一性”问题的方法：“惟一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便跟踪演练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条证明如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P)假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立要点三用反证法证明否定性命题例3已知等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解设公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列规律方法(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法跟踪演练3已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且，由0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根1用反证法证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设_答案三角形中至少有两个直角或钝角2用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中_答案每一个内角都小于603“ab4用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_答案方程x3axb0没有实根解析方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根5已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数1.反证法证明的基本步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立2用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的一、基础达标1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是_(填序号)与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾答案2否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为_答案a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”3有下列叙述：“ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有_答案解析错：应为ab；对；错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角4用反证法证明命题：“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”5用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为_答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数6“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”7设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证f(x)0无整数根证明设f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均为奇数，ab为偶数，当k为偶数时，显然与式矛盾；当k为奇数时，设k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为偶数，也与式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)0无整数根二、能力提升8用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为_答案a，b不全为0解析“a，b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”9设a，b，c都是正数，则下面关于三个数a，b，c的说法正确的是_都大于2；至少有一个大于2；至少有一个不小于2；至少有一个不大于2.答案解析假设a2，b2，c2，则(a)(b)(c)6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_答案a2或a1解析若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.证明用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a0，b0，则由abc0，可得c(ab)，又ab0，c(ab)(ab)(ab)，abc(ab)(ab)(ab)ab，即abbcca0，ab0，b20，a2abb2(a2abb2)0，即abbcca0矛盾，假设不成立a0，b0，c0成立12已知a，b，c(0,1)，求证(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.证明假设三个式子同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因为0a1，所以0a(1a)2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立三、探究与创新13已知f(x)是R上的增函数，a，bR.证明下面两个命题：(1)若ab0，则f(a