2019年高考数学三轮冲刺专题11数列求和及其综合应用专项讲解与训练.docx

专题11数列求和及其综合应用裂项相消求和 1常见的裂项类型(1)；(2)；(3)；(4)；(5).2裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式an拆分成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件 (2019福建质量检测)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a22，S515，数列bn的前n项和Tn满足Tn(n5)an.(1)求an；(2)求数列的前n项和【解析】(1)设等差数列an的公差为d.依题意，即，解得a1d1.所以ann.(2)由(1)得，ann，所以Tnn(n5)当n2时，bnTnTn1n(n5)(n1)(n4)2n4，当n1时，b1T16也满足上式，所以bn2n4(nN*)所以()设的前n项和为Pn，则当n2时，Pn(1)()()()(1)()(1).当n1时，P1，也满足上式综上，Pn.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项拆分成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和 【对点训练】(2019广西三市联考)已知等比数列an的前n项和为Sn，且6Sn3n1a(nN*)(1)求a的值及数列an的通项公式； (2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列 (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数(3)为保证结果正确，可对得到的和取n1，2进行验证 【对点训练】已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*)(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n6n2，有Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1，上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216.得Tn(3n4)2n216. (2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和10(2019张掖模拟)已知数列an的前n项和为Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an的通项公式与数列bn的通项公式；(2)令cn，其中nN*，记数列cn的前n项和为Tn，求Tn的值【解析】：(1)由题意知a11，因为an3Sn4，所以an13Sn14.两式相减并化简得an1an，所以an()n1.bnlog2an1log2()n2n.(2)由(1)得，cn.Tn，Tn，得，Tn1.所以Tn2.可得Tn2.能力提升1(2018.湖南五市十校联考)等差数列an的前n项和为Sn，且a10，若存在自然数m3，使得amSm，则当nm时，Sn与an的大小关系是()ASnan BSnanCSnan D大小不能确定【答案】C【解析】若a10，存在自然数m3，使得amSm，则d0，若d0，数列是递减数列，则Smam，不存在amSm.由于a10，d0，当m3时，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，显然Snan.故选C.2在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.【解析】：(1)设等差数列an的公差是d.因为a3a8(a2a7)2d6，所以d3，所以a2a72a17d23，解得a11，所以数列an的通项公式为an3n2.(2)因为数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，所以anbnqn1，即3n2bnqn1，所以bn3n2qn1.所以Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故当q1时，Snn；当q1时，Sn.3(2018广东五校协作体第一次诊断)数列an的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列 bn的前n项和Tn.【解析】：(1)因为Sn2ana1，所以当n2时，Sn12an1a1，所以an2an2an1，化为an2an1.由a1，a21，a3成等差数列得，2(a21)a1a3，所以2(2a11)a14a1，解得a12.所以数列an是等比数列，首项为2，公比为2.所以an2n.4(2018郑州质量预测(二)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.【解析】：(1)由Snan1n1(nN*)，得Sn1ann(n2，nN*)，两式相减，并化简，得