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第五章 晶体中电子能带理论,5.1 布洛赫定理 5.2 克龙尼克潘纳模型 5.3 近自由电子近似(弱周期场近似) 5.4 紧束缚近似 5.5 电子在晶体中速度、加速度、有效质量 5.6 导体 半导体和绝缘体,5.1 布洛赫定理,一、能带理论的基本假设(3个近似) 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系,但晶体性能主要和外层电子有关,把内层电子和原子核看成一个离子实,那么晶体就是由离子实和外层电子组成的系统。,假定晶体体积 , 含有N个带正电荷Ze的离子实,Z为单原子的价电子数目,因而,晶体中有NZ个价电子。即:,NZ个价电子,简称为电子,其位矢用 表示。,则系统的哈密顿为:,则体系的薛定谔方程 这是一个NZ+N的多体问题。 绝热近似(多体问题多电子问题) 由于电子质量远小于离子实的质量,电子速度 远大于离子实的速度,可认为离子实固定在瞬时的 位置上,只关注电子体系的运动,这种近似为绝热 近似。此时电子系统的薛定谔方程,2. 单电子近似(平均场近似) (多电子问题单电子问题) 多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己 的位置有关,还与其他电子的位置有关,即所有电 子都是关联的,不能精确求解。 为此,用平均场代替价电子的相互作用,即 假定每个电子的库仑势相等,仅与该电子位置有 关,而与其他电子位置无关。,此时体系的哈密顿 取Z=1,这样总的 为N个单电子H之和,多电 子问题单电子问题,每个电子,3. 周期场近似 令 假设它具有与晶格同样的晶格对称性,即对 (平移矢量)而言,有 总结:采用3种近似后,晶体中单电子状态描述,二、布洛赫定理 定理描述:对于周期性势场 为任意格矢,单电子s. 方程: 的本征函数是按布拉非格子周期性调幅的平 面波,即 对 取布拉非格子的所有格矢都成立。 推论:Bloch定理也可以表述为对于上述s.方 程的每一个本征解,存在一个波矢 ,使 对于任意格矢 都成立。,且,证明:,2. 定理证明 1)引入平移对称算符 定义: 将 作用于任意函数 使 平移 ,则单电子的周期性势场满足 性质 证明:,它们有共同本征函数 证明:,2)定理证明: 设 和 的共同的本征函数 说明: 所以 和 都是 的属于E的本征函数。,归一化条件:,上式只有当 和 成线性关系才成立,取 则 可验证平面波 满足此式,所以 有波矢的含义,当 增加倒格矢 时,平面波 也满 足上式,因此电子波函数应是这些平面波的线性叠加。 周期性。 所以电子的波函数是周期性调幅的平面波。,说明:1) 说明晶格 周期场中的电子在各原胞对应点出现几率相同, 电子可以看成在整个晶体中自由运动,平面波因 子描述晶体中的电子的共有化运动 ,而周期 函数因子描述电子在原胞中运动(取决于原胞中 电子势场)以上为布洛赫波函数的物理意义。 2)对于一维晶格,布洛赫定理为,3. 波矢的取值范围 设布拉非原胞格子基矢 分别为 ,总原胞数 ,周期 性边界条件: 代入布洛赫定理的推论,上的原胞数目,可看成倒格子空间中以 为基矢的布拉非格子的格矢,它的取值范围: 一个倒格子原胞空间中。 每个k占据体积: 电子的波矢密度: ,一个倒格子原胞中含有 波矢数: (晶体原胞数),例1:一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理,若晶格常量为a,电子波函数为 , f为某一确定函数,试求电子在这些状态的波矢。,解:据布洛赫定理,在周期性势场中运动的波函数具有以下特点:,令m-n=l,,在简约布里渊区中,即,取,4. 布里渊区 1)定义:在波矢空间中,从原点出发做各倒格矢的垂直平分面(线),这些面围绕原点构成一层层的多面体(多边形),把最内层的多面体叫第一布里渊区(简约布里渊区,中心布里渊区),第二层多面体为第二布里渊区,依次类推。 布里渊区的边界上的波矢满足:,2)性质 第一布里渊区体积等于倒格子原胞体积。 各布里渊区体积相等。 布里渊区的形状和晶体结构有关。,3)举例: 二维正方格子 正格子原胞基矢 倒格子原胞基矢 倒格矢 倒格子空间离原点最近的倒格点有4个,相应的倒格 矢为 ,它们的垂直平分线围成的区域为第一布 里渊区。 离原点次近的4个倒格点相应的倒格矢为 它们的垂直平分线同第一布里渊区的边界线围成的区域为 第二布里渊区。 离原点再远一点倒格点的倒格矢为 , 它们的垂直平分线同第一、第二布里渊区边界线形成第三 布里渊区。,第一布里渊区的面积为,b. 简单立方格子 正格子原胞基矢 倒格子原胞基矢 倒格矢 ,倒格子空间离原点最近 的倒格点有6个,相应的倒格矢为 ,它们 的垂直平分面围成的区域为第一布里渊区。体积为 ,次近邻的倒格点有12个,倒格矢为 它们的中垂面围成一个菱形12面体,体积 , 减去立方体为6个分离的四棱锥,体积为,第一布里渊区,c. 体心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 边长 的面心立方格子, 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的菱形十二面体,12个近邻倒格点的倒格矢分别是:,d. 面心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 边长 的体心立方格子,第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体,体积为 , 倒格子原胞体积: ,所以它不是第一布里渊区,考虑次近邻的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角,截去的体积 为 ,截去后体积刚好为 ,所以第一布里渊区是14面体,有8个正六边形和6个正方形,称截角八面体。, 第一布里渊区, 八个面是正六边形 六个面是正边形,三、举例: 1)平面正三角形晶格,相邻原子间距为a, 试求 1)正格子基矢和 倒格子基矢。 2)画出第一、二 布里渊区。,2019/4/19,33,可编辑,解:正格子基矢选取如图: 设 ,则 倒格子基矢 倒格矢,离原点最近的倒格点对应的倒格矢为 这6个倒格矢的中垂线围成的空间为2部分, 以原点为对称心的正六边形为第一布里渊 区,正六边形以外的6个三角形为第二布里渊 区。 离原点次近的倒格点对应的倒格矢为 它和第一、二布里 渊区的边界为第三布里渊区。,2)二维金属晶格,晶胞为简单矩形,晶格常数a=2埃,b=4埃,原子为单价的, a.试画出第一、二布里渊区 b.计算自由电子费米半径,解:倒格子原胞基矢为,选定一倒格点为原点,2个最近邻倒格矢 和2个次近邻倒 格矢 的中垂线围成第一布里渊区,另2个次近邻的倒格矢 和4个次次近邻倒格 矢 的中垂线围成第二布 里渊区。,二维电子气的波矢密度: 能量EE+dE之间的量 子态数: 能态密度: 在绝对温度时,费米能以 下的量子态被电子占据,,5.2 克龙尼克潘纳模型,一、势场模型,周期性边界条件:,连续性边界条件:,二、主要结论和物理意义 只能取某些值波函数才存在,电子能谱由许多禁带和许可带相间排列而成。 许可带的宽度随 的增加而减少,从而也随E的增加而增加。(能级较高的能带较宽,能级较低的能带较窄。),3. 许可带的宽度随P的增加而减少。 当 P无穷时 , 必须使 才可以,此时必须 , 无限深势阱中能级的表示式。 当P0时, 自由电子能量表达式。 所以说P的数值适当了表达了粒子被束缚的程度。,4. 可画图如下,5.3 近自由电子近似 (弱周期场近似),金属晶体中原子实对价电子的束缚较弱, 价电子的行为与自由电子相近。 一、模型 电子在一个周期性势场中运动 周期性势场随距离变化很小,即弱周期势场,可用量子力学中的微扰论来处理。,二、利用微扰论求能量表示式。 周期性势场的傅里叶展开 根据数理方法,

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