2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法教案新人教A版.docx

2.1 比较法一、教学目标1理解比较法证明不等式的依据2掌握利用比较法证明不等式的一般步骤3通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用二、课时安排1课时三、教学重点掌握利用比较法证明不等式的一般步骤四、教学难点通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用五、教学过程（一）导入新课已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.【证明】2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0,从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.（二）讲授新课教材整理1作差比较法1理论依据：ab ；abab0；ab .2定义：要证明ab，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法3步骤： ；变形； ；下结论教材整理2作商比较法1理论依据：当b0时，ab ；ab1；ab1.2定义：证明ab(b0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法3步骤：作商；变形；判断商与1大小；下结论（三）重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式例1已知a0，b0且ab，求证：aabb(ab).【精彩点拨】【自主解答】a0，b0，aabb0，(ab)0，作商aab.ab，当ab0时，1且0，1，而(ab)0，aabb(ab).当ba0时，01且0，1，而(ab)0，aabb(ab).综上可知a0，b0且ab时，有aabb(ab).规律总结：1当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式2运用ab1证明不等式时，一定注意b0是前提条件若符号不能确定，应注意分类讨论再练一题1已知m，nR，求证：.【证明】因为m，nR，所以，令mn，则：当mn0时，1，mn0，则1.当mn时，1.当nm0时，01，mn1.故对任意的m，nR都有1.即，所以.题型二、比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：mns，t2.t1，t2，t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t1t2，从而知甲比乙先到达指定地点规律总结：1应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键2在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断再练一题2通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为2，截面是正方形的水管的截面面积为.由于l0,04，0，.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大题型三、作差比较法例3已知a，bR，求证：a2b21abab.【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号【自主解答】法一a2b2abab1(ab)2(a1)2(b1)20，a2b21abab.法二a2b2abab1a2(b1)ab2b1，对于a的二次三项式，(b1)24(b2b1)3(b1)20.a2(b1)ab2b10，故a2b21abab.规律总结：1作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少2因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“”判定符号再练一题3已知abc，证明：a2bb2cc2aab2bc2ca2.【证明】a2bb2cc2aab2bc2ca2(a2bbc2)(b2cab2)(c2aca2)b(a2c2)b2(ca)ac(ca)(ac)(babcb2ac)(ac)(ab)(bc)abc，ac0，ab0，bc0，(ac)(ab)(bc)0，即a2bb2cc2aab2bc2ca2.（四）归纳小结比较法（五）随堂检测1设ta2b，sab21，则下列t与s的大小关系中正确的是()Ats Bts Cts D.ts【解析】st(ab21)(a2b)(b1)20，st.【答案】D2已知a0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P，Q的大小关系是()APQ BPQ CPQ D.大小不确定【解析】PQloga(a31)loga(a21)loga.当0a1时，0a31a21，则01，loga0，即PQ0，PQ.当a1时，a31a210，1，loga0，即PQ0，PQ.综上总有PQ，故选A.【答案】A3设a，b，m均为正数，且，则a与b的大小关系是_【