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第一章 质点运动学1-1 质点运动的描述一、参照系 坐标系 质点1、参照系为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。2、坐标系为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。3、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明： 质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型） 质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量 2）占有位置 物体能否视为质点是有条件的、相对的。二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移1、位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图12，取的是直角坐标系，为质点的位置矢量 （1-1）位矢大小： （1-2）方向可由方向余弦确定：，2、运动方程质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。运动方程 矢量式： （1-3） 标量式：， （1-4）3、轨迹方程从式（1-4）中消掉，得出、之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为，得轨迹方程为（抛物线）4、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图13。设、时刻质点位矢分别为、，则时间间隔内位矢变化为 （1-5）称为该时间间隔内质点的位移。 （1-6）大小为讨论： 比较与：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量 比较与（AB路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下。当时，。 什么运动情况下，均有？三、速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。1、平均速度如图1-3， 定义： （1-7）称为时间间隔内质点的平均速度。 (1-8）方向：同方向。说明：与时间间隔相对应。2、瞬时速度粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。定义：称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度。 （1-9）结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。 （1-10）式中 ， 。 、分别为在、轴方向的速度分量。的大小：的方向：所在位置的切线向前方向。与x正向轴夹角满足。3、平均速率与瞬时速率定义：（参见图1-3）称为质点在时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。定义：称为时刻质点的瞬时速率，简称速率。当时（参见图1-3），有 可知： 即 （1-11）结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。说明： 比较与：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。 比较与：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。四、加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。1、平均加速度定义：（见图1-4）称为时间间隔内质点的平均加速度。2、瞬时加速度为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。定义：称为质点在时刻的瞬时加速度，简称加速度。 （1-12）结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。式中： ，。、分别称为在x、y轴上的分量。的大小： 的方向： 与x轴正向夹角满足说明：沿的极限方向，一般情况下与方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 瞬时量：，综上： 过程量：，矢量：，标量：，五、直线运动质点做直线运动，如图1-51、位移：沿+x轴方向；：沿-x轴方向。2、速度，沿+x轴方向；，沿-x轴方向。3、加速度，沿+x轴方向；，沿-x轴方向。由上可见，一维运动情况下，由、的正负就能判断位移、速度和加速度的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。六、运动的二类问题运动方程、等例1-1：已知一质点的运动方程为（SI），求： t=1s和t=2s时位矢； t=1s到t=2s内位移； t=1s到t=2s内质点的平均速度； t=1s和t=2s时质点的速度； t=1s到t=2s内的平均加速度； t=1s和t=2s时质点的加速度。解： m m m m/s m/sm/s m/s2 m/s2例1-2：一质点沿x轴运动，已知加速度为(SI)，初始条件为：时，m。求：运动方程。解：取质点为研究对象，由加速度定义有（一维可用标量式）由初始条件有：得： 由速度定义得：由初始条件得：即m由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。1-2圆周运动一、自然坐标系图2-1中，BAC为质点轨迹，时刻质点P位于A点，、分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，切向和法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图1-7，质点做半径为的圆周运动，时刻，质点速度 （2-1）式（2-1）中，为速率。加速度为 （2-2）式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速度，记为 （2-3）式（2-3）中， （2-4）为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。 2、法向加速度式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图1-8，质点由A点运动到B点，有因为，所以、夹角为。 （见图1-9）当时，有。因为，所以由A点指向圆心O，可有式（2-2）中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为 （2-5）大小为 （2-6）式（2-6）中，是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。3、总加速度 （2-7）大小： （2-8）方向：与夹角（见图1-10）满足4、一般曲线运动圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径看作变量即可。讨论： 如图1-10，总是指向曲线的凹侧。 时，质点做直线运动。此时时，有限，质点做曲线运动。此时三、圆周运动的角量描述1、角坐标如图1-11，时刻质点在A处，时刻质点在B处，是OA与x轴正向夹角，是OB与x轴正向夹角，称为时刻质点角坐标，为时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。2、角速度平均角速度：定义： （2-9）称为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。定义： （2-10） （2-11）结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。说明：角速度是矢量，的方向与角位移方向一致。3、角加速度为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。（1）平均角加速度：设在内，质点角速度增量为定义： （2-12）称为时间间隔内质点的平均角加速度瞬时角加速度：定义： （2-13）称为时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。 （2-14）结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加速度是矢量，方向沿方向。4、线量与角量的关系把物理量、等称为线量，等称为角量。（1）、与关系如图2-7，时，有 即 （2-15）（2）、与关系式（2-15）两边对求一阶导数，有即 （2-16）（3）、与关系即 （2-17）1-3相对运动本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。一、相对位矢设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图1-13，二坐标系相应坐标轴平行，M相对于E运动。质点P相对E、M的位矢分别为、，相对位矢为： (2-18) 结论：P对E的位矢等于P对M的位矢与对E的位矢的矢量和。二、相对位移由（2-18）有 （2-19）结论：P对E的位移等于P对M的位移与对E的位移的矢量和。三、相对速度将式（2-18）两边对时间求一阶导数有 （2-20）结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。四、相对加速度由式（2-20）对时间求一阶导数有 （2-21）结论：P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量和。例1-3：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为，和，速度为，试说明下式正确的有哪些？解：因为标量矢量，所以不对。又，而，故不对。而，因此正确。由于中为曲率半径，而这里为位矢的大小，不一定是曲率半径，所以不对。例1-4：在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中，都是正的常数，则时刻齿尖P的速度和加速度大小为多少？解：例1-5：一质点运动方程为（SI），求：（1）（2）解： m/sm/s2(注意此方法，给定运动方程，先求出、，之后求，这样比用求简单)例1-6：抛射体运动，抛射角为，初速度为，不计空气阻力，问运动中变化否？、变否？任意位置、为多少？抛出点、最高点、落地点、各为多少？曲率半径为多少？解：如图所取坐标，x轴水平，y轴竖直，为抛射点。质点受重力恒力作用，有，故不变.，而改变，变。而不变，变，变。任意位置P处，质点的、为抛射点处，有最高点：，落地点：与出射点对称 例1-7：一质点从静止（）出发，沿半径为m的圆周运动，切向加速度大小不变，为m/s2,在时刻，其总加速度恰与半径成45角，求解：依题意知，与夹角为45，有 由有得： s例1-8：某人骑自行车以速率向西行使，北风以速率吹来（对地面），问骑车者遇到风速及风向如何？解：地为静系E，人为动系M。风为运动物体P绝对速度：，方向向南；牵连速度：，方向向西；求相对速度方向如何？ 有图1-15。 45 方向：来自西北。或东偏南45。第二章 牛顿运动定律2-1牛顿运动定律 力一、牛顿运动定律1、第一定律时， （2-1）说明：反映物体的惯性，故叫做惯性定律。给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。2、第二定律 （2-2）说明： 为合力 为瞬时关系 矢量关系 只适应于质点 解题时常写成（直角坐标系） （2-3） （自然坐标系） （2-4）3、第三定律 （2-5） 说明： 、在同一直线上，但作用在不同物体上。 、同有同无互不抵消。二、几种常见的力1、力力是指物体间的相互作用。2、力学中常见的力（1）万有引力 （2-6）即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量、的乘积成正比，和它们距离的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。（2）弹性力弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。（3）摩擦力 当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。3、两种质量由可证明： ，适选单位可有 。以后不区别二者，统称为质量。2-2力学单位制和量纲（自学）2-3惯性系 力学相对性原理一、惯性参照系在运动学中，参照系可任选，在应用牛顿定律时，参照系不能任选，因为牛顿运动定律不是对所有的参照系都适用。如图2-1，假设火车车厢的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，显然小球受合外力=0，当火车以加速度向前开时，车上人看见小球以加速度向后运动。而对地面上人来说，小球的加速度为零。如果取地参系，小球的合外力等于零，故此时牛顿运动定律（第一、二定律）成立。如果取车厢为参照系，小球的加速度，而作用小球的合外力，故此时牛顿运动定律（第一、第二定律）不成立。凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。说明：（1）一个参照系是否为惯性系，要由观察和实验来判断。天文学方面的观察证明，以太阳中心为原点，坐标轴的方向指向恒星的坐标轴是惯性系。理论证明，凡是对惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。（2）地球是否为惯性系？因为它有自转和公转，所以地球对太阳这个惯性系不是作匀速直线运动的，严格讲地球不是惯性系。但是，地球自转和公转的角速度都很小，故可以近似看成是惯性系。二、力学相对性原理在1-3中已讲过，参照系E与M，设E是一惯性系，M相对E以做匀速直线运动，即OM也是一惯性系，二参照系相应坐标轴平行，在E、M上牛顿第二定律均成立，设一质点P1质量为m，相对E、M有 （2-7）设P相对E、M的速度分别为、，有 （2-8）上式两边对求一阶导数有 （2-9）可见，P对E和M的加速度相同。综上可知，对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式（见（2-7），在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对其它惯性系是否在运动（见（2-9），这个原理称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。2-4牛顿定律应用举例例2-1: 如图2-2，水平地面上有一质量为M的物体，静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为，若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？解：研究对象：M受力分析：M受四个力，重力，拉力，地面的正压力，地面对它的摩擦力，见图2-3。牛顿第二定律：合力： 分量式：取直角坐标系x分量： y分量： 物体启动时，有 物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即，由解出N，求得 为： 代中：有 可见：。时，要求分母最大。设 时，。代入中，得：方向与水平方向夹角为时，即为所求结果。强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标）。例2-2：质量为的物体被竖直上抛，初速度为，物体受到的空气阻力数值为，为常数。求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。解：研究对象：m受力分析：m受两个力，重力及空气阻力，如图2-4。牛顿第二定律：合力：y分量：即 时，物体达到了最高点，可有为 时，例2-3：如图2-5，长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于原点o，开始时小球处于最低位置，若小球获得如图所示的初速度，小球将在竖直面内作圆周运动，求:小球在任意位置的速率及绳的张力。解：研究对象：m受力分析：小球受两个力，即重力，拉力，如图2-6。牛顿定律：应用自然坐标系，运动到处时，分量方程有，方向： 方向： 由有： 即 作如下积分： 有 得： 代中，得：例2-4：如图2-6，一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端各系一质量为和的物体，且，设滑轮的质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加速度相对地面向上运动，试求两物体相对定滑轮的加速度大小及绳中张力。解：研究对象：、受力分析：、各受两个力，即重力及绳拉力，如图2-7。牛顿定律设对定滑轮及地加速度为、，对定滑轮及地加速度为、，：如图所选坐标，并注意，有解得： 例2-5：如图2-8，质量为的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一质量为的木块放在的斜面上，与间无摩擦。试求对地的加速度和对的加速度。解：研究对象：、受力分析：受三个力，重力，正压力，地面支持力。受两个力，重力，的支持力， 如图2-9所。取坐标系，设对地加速度为，对的加速度为，对地的加速度为有 由牛顿得二定律有： ：x分量： y分量： ： 由、有：强调：相对运动公式的应用。第三章 动量守恒和能量守恒定律3-1质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理1、动量质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量，记为。 （3-1）说明：是矢量，方向与相同是瞬时量是相对量坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量牛顿第二定律原始形式由此有积分： （3-2）定义：称为在时间内力对质点的冲量。记为 （3-3）说明：是矢量是过程量是力对时间的积累效应的分量式 （3-4）分量式（34）可写成 （3-5）、是在时间内、平均值。3、质点的动量定理由上知 （3-6）结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。说明：与同方向分量式 （3-7）过程量可用状态量表示，使问题得到简化成立条件：惯性系动量原理对碰撞问题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含个质点，第个质点的质量和速度分别为、，对于第个质点受合内力为，受合外力为，由牛顿第二定律有对上式求和，有因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故， 有 （3-8）结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。式（3-8）可表示如下 （3-9）即 （3-10）结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。例3-1：质量为的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间，打击前铁锤速率为，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？解：设竖直向下为正，由动量定理知：强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量 例3-2：一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x方向运动，NS（沿方向）NS（沿方向）例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为kg，速率m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为。求碰撞过程中小球受到的冲量设碰撞时间为s，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力解：如图3-1所取坐标，动量定理为方法一用分量方程解NS方法二用矢量图解如上图3-1所示。,故为等边三角形。m/s,沿方向NS，沿方向。N注意：此题按求困难（或求不出来）时，用公式求方便。3-2动量守恒定律由式（3-8）知，当系统受合外力为零时 (3-11)即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。说明：动量守恒条件：，惯性系。动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。内力能改变系统动能而不能改变系统动量。时，若在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。动量守恒是指（不随时间变化），此时要求。动量守恒是自然界的普遍规律之一。例3-4：如图3-2，质量为的水银球，竖直地落到光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的速度分别为、，大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究对象：小球受力情况：只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故水平方向动量守恒。在水平面上如图3-2取坐标，有方法二用矢量法解 及 即 即有图3-3。可得m/s得 强调：要理解动量守恒条件例3-5：如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为长为的小车，车上一端有一质量为的人，起初、均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？解：研究对象：、为系统此系统在水平方向受合外力为零，在此方向动量守恒。方法一 （对地）即 如图所取坐标，标量式为即 积分（，在A处，在B处） 即 得 由图3-4知：方法二 标量式：即 积分： 可知： 由、得：例3-6：质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用以与水平方向成角的速率向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解：如图3-5，设P为抛出物体后人达到的最高点，、分别为抛球前后跳跃的距离。研究对象：人、物体组成的系统， 该系统在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系统的动量分量守恒。设在P点，人抛球前、后相对地的速度分别为、，在P点抛球后球相对地速度为，有标量式： 即 得： 强调：，。因为是与同时产生的，而人速度为时，还没产生3-3碰撞一、碰撞碰撞特点：碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。机械能二、完全弹性碰撞1、对心情况（一维）如图3-6，以与为系统，碰撞中 （3-12） （3-14）（，沿+x方向；反之，沿-x方向）解得： （3-15）讨论： （交换速度） 2、非对心情况设，且，可知，、系统动量及动能均守恒，即 （3-16） （3-17）可知，、是以为斜边的直角三角形，如图3-7。3-4动能定理一、功定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不变。如图3-8，功为 (3-18)即 (3-19)说明：为标量 功是过程量功是相对量功是力对空间的积累效应 作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。2、变力的功设质点做曲线运动，如图3-9。为变力，在第个位移元中，看作恒力，对物体做功为 质点从过程中，对质点做的功为功的精确数值为 即： （3-20）讨论：恒力功直线运动设，如图3-10，质点在中，功为合力功设质点受个力，合力功为二、功率定义：力在内对物体做功为，下式称为在时间间隔内的平均功率。下式称为瞬时功率，即 （3-21）三、质点的动能定理1、动能定义： （3-20）式（3-20）中，、分别为物体质量和速率。称为质点的动能。说明：为标量； 为瞬时量；为相对量。2、质点的动能定理设做曲线运动，如图3-11，合力为，在a、b二点速度分别为、。在c点力为，位移为，由牛顿定律有：（切线上）即即 做如下积分：可写成： （3-21）结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。说明：为过程量，为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。动能定理成立的条件是惯性系。功是能量变化的量度。例3-7：如图3-12，篮球的位移为，与水平线成角，球质量为，求重力的功。解：研究对象：球 重力为恒力强调：恒力功公式的使用.例3-8：如图3-13，远离地面高处的物体质量为，由静止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对做的功。解：c点：例3-9：力(SI)作用在的质点上。物体沿x轴运动，时，。求前二秒内对作的功。解：研究对象：直线问题，沿+x轴方向方法一按作在此有： 做如下积分： 有 即 方法二用动能定理作例3-10：质量为的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14所示。若时，试求时，解：在到过程中，外力功为由动能定理为：即 3-5 保守力与非保守力 势能一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点1、万有引力功及特点如图3-15，设质量为物体在质量为的引力场中运动，（不动），从中，引力功=？ 在任一点c处， （变力） （3-22） 又 （3-23）特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。2、重力功及特点如图3-16，质点经acb路径由，位移为，在地面附近重力可视为恒力，故功为 （3-24）特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。3、弹性力功及特点如图3-17，称为弹簧振子，处于x处时，它受弹性力为从坐标过程中，弹性力做功为 （3-25）特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。如：物体可以从处向左移，然后向右平移至处，也可以从处直接移到处。但是，无论怎样从处移到处，弹性力做的功都是上述结果。二、保守力和非保守力 1、保守力与非保守力如果力对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为： （3-26）及 （3-27）由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。三、势能对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即： （3-28）结论：保守力功=相应势能增量的负值 。 *从理论上讲，即是无旋的，与有对应关系，可定义为与相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。 （3-29） （3-30） （3-31）说明： （1）（2）（3）3-6 功能原理 机械能守恒定律一、质点系的动能定理系统中有个物体，第个物体受合外力为，合内力为，在某一过程中，合外力功为，合内力功为，由单个质点的动能定理，对第个质点有： （3-32）。对上式两边求和，有 （3-33） （3-34）结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。二、功能原理作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。由质点动能定理 有 （3-35）结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。说明：功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。功是能量变化或转化的量度能量是系统状态的单值函数三、机械能守恒定律由功能原理知，当时，有 （3-36）结论：当时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度时，有人列出了方程（不计空气阻力）列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？解：动能定理为合力功=质点动能增量功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取、地为系统）机械能守恒定律即 可见，此人用的是质点的动能定理。例3-12：如图3-19，质量为的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为，槽半径为。求从AB过程中摩擦力做的功。解：方法一按功定义，在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为 方法二用质点动能定理受三个力，由有即 方法三用功能原理取、地为系统， 无非保守内力 ，功为（不作功，及槽对地的力也不做功）由 有即注意：此题目机械能不守恒。例3-13：质量为、的二质点靠万有引力作用，起初相距，均静止。它们运动到距离为时，它们速率各为多少？解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即 由、解得： 第四章 刚体的转动4-1刚体运动一、刚体定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。说明： 刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的。二、刚体运动刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。 特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。 （2）转动：1）绕点转动 2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等）三、定轴转动（本章仅讨论此情况）定义：转轴固定时称为定轴转动。转动特点： 刚体上各点的角位移相同（如：皮带轮），各点的、相同。 刚体上各点的、一般情况下不同。说明： 是矢量，方向可由右手螺旋法则确定。见图4-1。 4-2 力矩 转动定律 转动惯量一、力矩1、外力在垂直于轴的平面内如图4-2：定义：力矩： （4-1）力矩 ：大小：（，称为力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、构成的平面即与轴平行。注意：是、间夹角。2、外力不在垂直于轴的平面内如图4-3： 对转动无贡献 对转动有贡献的仅是。产生的力矩即的力矩，故上面的结果仍适用。说明：平行轴或经过轴时 。二、转动定律时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。推导：如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统，这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。考虑第个质点：质量：到轴的距离： 受力：外力：；内力： （设、在垂直于转轴的平面内）在切线方向上由牛顿定律有： （4-2）即 （4-3）（4-3）: （4-4）每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 （4-5）可证明。证明如下：如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力，他们是一对一对的作用力和反作用力。对、两质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对第个质点作用力，为第个质点对第个质点作用力。与共线力臂相等又 与等值反向与产生力矩等值反向，故与力矩合=0由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。令 （4-6）即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。说明：,与方向相同为瞬时关系转动中与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。*比较为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。三、转动惯量1、： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为。求：系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量；系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量；若A处质点也固定在B处，的结果如何？解： 讨论：与质量有关（见、结果）与轴的位置有关（比较、结果）与刚体质量分布有关（比较、结果）平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量该轴与质心轴之距离平方。如例4-2：如图4-7，质量为长为的匀质杆，求：它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？它对过一端且平行于c轴的A轴转动惯量为多少？解：如图4-7所取坐标，如图4-8所取坐标，用平行轴定理解：说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量分别为、，滑轮视为圆盘，其质量为半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。解：受力分析：重力，桌面支持力，绳的拉力；：重力，绳的拉力；：重力，轴作用力，绳作用力、取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得：及，解得：讨论：不计时，（即为质点情况）例4-4：一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间内下降了一段距离，试求整个滑轮的转动惯量（用，和表示）解：受力分析由牛顿第二定律及转动定律得：及，4-3 转动动能 力矩的功 转动动能定理一、转动动能如图4-13，刚体绕过O处轴（垂直图面）转动，角速度为，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。设各质点质量为，与轴距离为，转动动能为： （4-6）*比较：二、力矩的功如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点力（可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力），在作用下刚体有一角位移，力的作用点的位移为，则在该位移中作的功为： （4-7）即 ：力矩元功=力矩角位移（力矩与角位移点积）在力矩作用下，从过程中，力矩的功为 （4-8）说明：常力矩功力矩功是力矩的空间积累效应内力矩功之和=0（与质点情况不同）力矩的功功率： 比较：三、刚体定轴转动的动能定理即 做如下积分 可得 （4-9）即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。例4-5：在例4-3中，若B从静止开始下落时，合外力矩对c做的功=？c的角速度=？解：由例3知，对c的合外力矩为（常力矩） 例4-6：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆相连，弹簧倔强系数，细杆质量为。杆可绕c轴无摩擦转动。若当时弹簧为原长，那么细杆在的位置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？解：取、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。，。，代入得注意：机械能守恒定律条件及应用。4-4 角动量 角动量定理 角动量守恒定律一、 角动量1、角动量定义：，称为刚体角动量（或动量矩）说明：2、冲量矩转动定律 （4-10） （4-11）做如下积分： 定义：为在内对刚体的冲量矩 （4-12）说明：（1）冲量矩是矢量 （2）冲量矩是力矩的时间积累效应* 比较：二、角动量定理由上知 （4-13）即：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量（或动量矩）定理。三、角动量守恒定律已知 当时， 有 （4-14）即：当合外力矩时，则此情况下刚体