[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt_第1页
[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt_第2页
[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt_第3页
[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt_第4页
[理学]同济第五版高数3-5极值最值ppt.ppt_第5页
已阅读5页,还剩35页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第五节 函数的极值 与最大值最小值,一、函数的极值以及求法,二、最大值最小值问题,1.极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,一、函数的极值以及求法,2.函数极值的求法,观察极值点处函数的特征:,定理1(必要条件),驻点:使导数 为零的点,例如,于是,对于可导函数,可以 先求出驻点,再确定其是否 为极值点.,的极值存在吗?,存在极小值,但 在 处不可导.,于是, 函数在它的导数不存在的点处也可能,取得极值.,怎样判定函数在驻点或不可导点处是否 取得极值?,可能的极值点:,驻点或不可导点,( 是极值点情形),( 不是极值点情形),设 是驻点,观察其左右两旁的函数增减:,怎样判定函数在驻点或不可导点处是否 取得极值?,则 f(x)在 处取得极小值.,则 f(x)在 处取得极大值.,定理2 (第一充分条件),设 f(x)在 处连续,且在 内可导,,求可导函数极值的步骤:,例1,解,列表讨论:,极大值,极小值,图形如下:,定理3 (第二充分条件),设 在 处具有二阶导数,且,(2)当 时, 函数 在 处取得,那么,极小值.,极大值;,是极小值,,是极大值.,又,由极值的第二充分条件,可以根据驻点处 二阶导数的符号来判定函数是否有极值.,证,(2) 同理可证.,由第一充分条件(1),知,例2,解,再用定理2(第一充分条件)来判别:,注意:,例3,解,连续函数的不可导点,也可能是 函数的极值点,注意:,二、最大值与最小值问题,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,则其最大(小)值只能在极值点或端点处达到.,特别地,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处 达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),例4 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解,端点函数值,例5 铁路上AB 段的距离为100 km ,工厂C 距A处20Km ,ACAB ,要在 AB 线上选定,每公里货运价之比为3:5,为使货物从B 运到 工厂C 的运费最省,问D 点应如何选取?,一点D向工厂修一条公路,已知铁路与公路,20,解,则,令,得,故AD =15 km 时运费最省.,总运费,从而为最小点,设,例6 把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁,解 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,由实际意义可知,所求最值存在,又驻点惟一,故所求结果使梁的抗弯截面模量最大,,求解,即为最好的选择 .,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点:,驻点或不存在的点,(2) 极值的判定法,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,为极大值,为极小值,小 结,(注意使用条件),第一充分条件,第二充分条件,2. 连续函数的最大值和最小值,最值点在极值点或边界点取得;,应用题可根据问题的实际意义判别最大值和最小值 .,(3)极值是函数的局部性概念:,极大值可能小于极小值, 极小值可能大于极大值.,思考题,1.下列命题正确吗?,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,提示: 利用极限的保号性 .,2. 设,则在点 处( ).,思考题解答,1.不正确,例,当 时,,在1和1之间振荡,故命题不成立,当 时,,当 时,,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,提示: 利用极限的保号性 .,2. 设,则在点 处( ).,2. 选B.,由极限的

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论