[理学]数字图象处理_第3章.ppt

3.1 图像的几何变换 3.2 图像的离散傅立叶变换 3.3 图像变换的一般表示形式 3.4 图像的离散余弦变换 3.5 图像的离散沃尔什哈达玛变换 3.6 K-L变换 3.7 本章小结,第3章 图像变换,图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理，也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频域，可以更好地分析、加工和处理。 图像信息的频域处理具有如下特点 : (1) 能量守恒，但能量重新分配； (2) 有利于提取图像的某些特征； (3) 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编码； (4) 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。 本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什变换等 。,概 述,图像的几何变换包括: 图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 图像几何变换的实质: 改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。,3.1 图像的几何变换,图像几何变换的一般表达式 : 其中， 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， 为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。 如果 ， ，则有 ， 即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。,3.1 图像的几何变换,平移变换 : 若图像像素点 平移到 ，则变换函数为 ， 写成矩阵表达式为： 其中， 和 分别为 和 的坐标平移量。,3.1 图像的几何变换,3.1 图像的几何变换,比例缩放 : 若图像坐标 缩放到（ )倍，则变换函数为： 其中, 分别为 和 坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。,3.1 图像的几何变换,旋转变换 : 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 角度，则变换后图像坐标为：,3.1 图像的几何变换,仿射变换 : 仿射变换的一般表达式为: 平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。,仿射变换具有如下性质： （1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。 （2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。 （3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。,3.1 图像的几何变换,上式可以表示成如下的线性表达式 : 设定加权因子 和 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 该情况是图像剪切的一种列剪切。 （a）原始图像 （b）仿射变换后图像,3.1 图像的几何变换,透视变换 : 把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换，也称为投影映射，其表达式为: 透视变换也是一种平面映射 ，并且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线。 透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。,3.1 图像的几何变换,灰度插值 : (1) 最近邻插值法：也称作零阶插值，就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。 特点：造成的空间偏移误差为 像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。 (2)双线性插值: 也称作一阶插值,该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。 特点:当对相邻四个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合。并且双线性灰度插值的平滑作用可能使得图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。,3.1 图像的几何变换,灰度插值 : (3)卷积插值法 :当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现，即将输入图像两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波。 输入图像邻域 插零的邻域 一般低通模板有： 柱形 棱锥形 钟形 三次B样条,3.2 图像的离散傅立叶变换,一维离散傅立叶变换（1D-DFT） : 1D-DFT的定义 ：对于有限长序列 ,其DFT定义为： ， 1D-DFT的矩阵表示 ：,3.2 图像的离散傅立叶变换,其中： ， ， 其中的 称为变换矩阵。从 的构成形式可知， 是对称的，即 又由 ，则 称为酉矩阵，且 ， 而1D-DFT就称为正交变换。 同理可得到反变换的矩阵表示：,3.2 图像的离散傅立叶变换,二维离散傅立叶变换（2D-DFT） 1、 2D-DFT的定义: 其中， 都是整数， 它们的取值范围:,2、几个相关参数: 傅立叶变换表示为复数形式: 上式也可表示成指数形式： 通常称 为 的频谱或幅度谱， 为相位。 ， 频谱的平方称为功率谱，即:,3.2 图像的离散傅立叶变换,3、 2D-DFT的性质 : （1）变换核的可分离性 ： 在离散傅立叶变换中， 称为变换核，将 代入2D-DFT定义式的正变换中，得,该性质说明2D-DFT可通过两次1D-DFT完成，即按如下两种方法来实现2D-DFT ：,3.2 图像的离散傅立叶变换,（2）移位特性： 若 ，则： a.空间移位: b.频域移位: c.移位时幅度不变: ， d.频谱中心化:令 ，则 即使 的频谱从原点 移到中心 。,（a）原图像 （b）|F(u, v)|的示意图 （c）|F(u-N/2, v-N/2)|的示意图,3.2 图像的离散傅立叶变换,（3）周期性和共轭对称性： a.周期性 : 其中 和 为整数 。 b.共轭对称性: 图像 为实函数，则 具有共轭对称性，即: （4）旋转不变性: 若用极坐标 ,则 以及其傅立叶变换 就可以转化为 和 ， 这样 ， 则,3.2 图像的离散傅立叶变换,从上式可见，空域中函数 旋转 角度， 它的傅立叶变换 也旋转同样大小的角度，反之亦然。 （a）原始图像 （b）频谱 （c）图像旋转45o （d）图c的频谱 （5）实偶函数的DFT: 若 , 则,，仅有余弦项的实部。,3.2 图像的离散傅立叶变换,（6）实奇函数的DFT: 若 , 则 ，仅有正弦项的虚部。 （7）线性性: 若 和 是常数，傅立叶的正反变换都是线性变换，即 （8）比例性（尺度变换）: 若 和 是标量， ，则,3.2 图像的离散傅立叶变换,（9）平均值: 数字图像的平均值可以定义为: 将 代入 公式，有: 故 。 （10）卷积定理:,3.2 图像的离散傅立叶变换,其中：,3.2 图像的离散傅立叶变换,（11）相关定理： 其中：,相关主要应用于模板和原型匹配 给定一个未知图像和已知图像集之间求最紧密的匹配。其基本途径是求相关，然后取相关函数最大值。,3.2 图像的离散傅立叶变换,2D-DFT的计算 根据傅立叶变换核的可分离性，2D-DFT可用两步1D-DFT 来实现，而1D-DFT有快速算法FFT，这也就说明2D-DFT就可用 FFT来完成，即,3.3 图像变换的一般表示形式,前面介绍的2D-DFT只是可用于图像变换的一种可分离的、正交变换，根据它的计算方法及特性，我们总结出图像变换的一般表达形式。 1. 图像变换的一般表达式 其中 和 分别称为正、反变换核。 2. 正交变换 将图像变换公式中的正变换写成矩阵表达式，为 其中的 称为变换矩阵 。,3.3 图像变换的一般表示形式,正交变换矩阵及其主要性质 a.定义: 定义1若 阶实数矩阵 满足 ,则 称为正交矩阵； 定义2若 阶复数矩阵 满足 ,则 称为酉矩阵。 其中， 表示 的转置， 表示 的共轭， 表示单位矩阵。 b.几个性质: 性质1 若 为正交矩阵，则 若 为酉矩阵，则 性质2（正交归一）若 为正交（或酉）矩阵，则在 中各行 （或列）向量的模为1，任意不同行（或不同列）向量之间正交。,3.3 图像变换的一般表示形式,性质3 若 是正交（或酉）矩阵，则其行列式的模 。 性质4 若 是正交（或酉）矩阵，则 和 也是正交（或酉）矩阵。 性质5 若 和 是正交（或酉）矩阵，则 也是正交（或酉）矩阵。 (2) 正交变换: 变换矩阵是正交（或酉）矩阵的变换称为正交变换。如前面介绍的2D-DFT就是正交变换。 (3) 二维正交变换下的能量守恒: 即,3.3 图像变换的一般表示形式,可分离变换 （1） 可分离变换核: 若 ，则称正变换核是可分离的。 若 ，则称反变换核是可分离的。 （2） 可分离变换: 变换核可分离的变换称为可分离变换。二维可分离变换可由两步一维变换来完成，即 或,3.3 图像变换的一般表示形式,可分离正交变换 其中 是数字图像矩阵， 是经正变换后得到的变换域的结果： 和 是正变换核 分离后所得的变换矩阵： 如果 和 都有逆矩阵存在，则可得到反变换核为:,3.3 图像变换的一般表示形式,变换核可分离的正交变换，称为可分离正交变换。分离后的变换矩阵 和 都是正交矩阵（或酉矩阵）。 根据正交变换矩阵的性质,得到可分离正交变换的反变换为: , 和 为酉矩阵。 或 ， 和 为正交矩阵。 因此，可分离正交变换的矩阵表示式为 上节介绍的2D-DFT就是可分离的正交变换，其变换核也是对称的。,3.4 图像的离散沃尔什哈达玛变换,沃尔什-哈达玛变换的变换矩阵仅由1和1组成，与数值逻辑的两个状态相对应，故更适用于计算机实现，同时占用空间少，且计算简单，在图像的正交变换中得到了广泛应用。 离散哈达玛变换（DHT） Hadamard变换核: 当 时，函数的DHT记作 ，其变换核为： 其中 是非负整数 的二进制表示的第 位 因此，1-D离散哈达玛变换为: 将变换核写成矩阵形式，则哈达玛变换矩阵为： 最低阶：,图像的离散沃尔什哈达玛变换,递推阶： ,(N= , =1,2，) 变号次数 如： Hadamard变换核特点: （1）递推性： 可以由 递推得到; （2）变换矩阵 为实的正交对称矩阵; （3）行（或列）变号次数乱序。,图像的离散沃尔什哈达玛变换,2D-DHT 2D哈达玛正变换核由下式给出 上式也可写为： 写成矩阵形式，即为: 反变换与正变换形式相同 :,图像的离散沃尔什哈达玛变换, 离散沃尔什变换（DWT） 变换核 当 时，函数 的DWT记为 ，其变换核为： 其中 是非负整数 的二进制表示的第 位,因此，1-D离散 沃尔什变换为： 例如，当N4时 :,举例，Walsh变换核的值求解过程： 设N=8（n=3），则 求w（0,0），即m=0=0002； u=0=0002， 显然，b2（0）=0， b1（0）=0， b0（0） =0 ， 所以， w（0,0） = (-1)0*0(- 1)0*0 (-1)0*0 = 。,N=8时1-D的沃尔什变换核的值(常数 略去）。 例如x=6(110)，u=1(001)，则bi(x)bn-1-i(u)=1+0+0=1，所以系数为-1。,2-D沃尔什正变换和反变换： 沃尔什正变换核和反变换核都是可分离的和对称的， g(x, y, u, v) = g1 (x, u)g1 (y, v) = h1 (x, u)h1 (y, v) 2-D的沃尔什正反变换都可分成两个步骤计算，每个 步骤用一个1-D变换实现。,图象变换可以通过对核进行恰当的级数展开来得到 由于正向变换核和反向变换核只依赖于x，y，u, v而与f(x, y)或F(u, v)的值无关。这些核可看作一组基本函数，一旦图象尺寸确定这些函数也完全确定。 例如对沃尔什变换： W=UFV = (uo t uN-1 t ) F ui t vj即为基本函数。,例如对N=4， l-D沃尔什变换核的值：,则 ：uo = (1 1 1 1), vo = (1 1 1 1), u1 = (1 1 1 1 ), v1 = (1 1 1 1 ), u2 = (1 1 1 1 ), v2 = (1 1 1 1 ), u3 = (1 1 1 1)， v3 = (1 1 1 1),每个大方块对应固定的U和V，内部的小方块对应的x,y从0变到3，若计算W(0,0),将图像与对应的U=V=0的方块进行点点相乘，再将结果相加最后除以4即可,图像的离散沃尔什哈达玛变换,Walsh变换核特点: （1）变换核可由哈达玛变换核间接得到（间接递推）； （2）变换矩阵为实的正交对称矩阵； （3）行（或列）变号次数按自然定序（由小到大）排列。 2D-DWT: 2D-DWT的矩阵形式为： 反变换为：,图像的离散沃尔什哈达玛变换,2D-DHT和2D-DWT的特点及举例 2D-DHT-DWT特点: （1）都是可分离的正交变换。 （2）都是实函数变换。 （3）正反变换形式完全相同。 （4）变换核中不存在正、余弦函数，所以用计算机计算时，不会因字长有限而产生附加噪声。 （5）由于是正交变换，具有很好的能量集中作用。,图像的离散沃尔什哈达玛变换,2. 2D-DHT和2D-DWT举例 例1 已知： 则,图像的离散沃尔什哈达玛变换,则: 例2已知： 则: 从上面两个例子中可看出，DHT和DWT都满足变换前后能量守恒， 即 ，但相比于原图像数据，变换后的系数矩阵具有能量集中的作用，且数据越均匀能量越集中,这个特性可用于图像压缩中。,离散余弦变换 1-D离散余弦变换(DCT) 和其反变换由以下2式定义： 其中a(u)由下式定义：,图像的离散余弦变换,其矩阵形式为：,2-D的 DCT对由下面两式定义： 经DCT变换后信号的能量将向左上角集中，因而有利于图象数据的压缩。,第四节 其它可分离图象变换,3.6 K-L变换,3.6.1 图像的向量表示和统计参数 若一幅 的图像 在信道中传送了 次，或一物体形成了 个波段的多光谱图像，则会得到 幅（帧）图像组成的图像集合为 由于成像或传输过程中受到噪声或干扰的影响，图像中不可避免地包含有一些随机的成份，因此对图像可计算其统计特性。 图像的向量表示 对图像集合中的每一个样本 可以用 堆叠方式表示成 维向量： 其中的元素: 式中 为图像集合中的第 个样本， 为第 帧第 行元素形成的列向量。,3.6 K-L变换,2. 图像的统计参数 图像 向量的协方差阵定义为 式中 是 的均值向量， 表示求统计平均。 在 帧图像样本组成的集合中，可用如下两式近似，求得 和 ： 其中，均值向量 是 维的列向量，方差向量是 维的矩阵。,3.6 K-L变换,3.6.2 Cf的特征值和特征向量 1Cf的特征值 对于 的矩阵 ，有 个标量 ， 能使 其中， 称作矩阵 的特征值。 2Cf的特征向量 重新排列特征值，使得 若设 是 的 维特征向量，则有 ， 因此 是一实对称方阵，则一定存在有 个互为正交的实 特征向量 ，构成一个 维的完备正交向量集。,3.6 K-L变换,3.6.3 离散K-L变换及其性质 离散K-L变换 对各特征向量 进行归一化处理后，就得到了K-L变换的变 换矩阵 。 （ 阶的正交矩阵） 其中，特征向量 归一化的过程为： ， 且有 到此，离散K-L变换可以表示为：,3.6 K-L变换,离散K-L变换的性质 （1） 的均值向量 为0； （2） 的方差向量为： （3） 为对角阵： 是对角阵，其元素等于 的特征值，即： （4）因为 A 是正交矩阵，所以离散K-L变换是正交变换。 （5）由于二维K-L变换核是不可分离的，所以离散K-L变换不是可分离变换。 3. 离散K-L反变换：,3.6 K-L变换,3.6.4 图像的主分量表示和降维重建 离散K-L变换矩阵 是按特征值 大小排列的相应特征向量 组成的 变换核矩阵，由于能量主要集中于特征值大的系数中，如果只用特征值较大 的前 个分量来近似表示 ，即丢掉对应于特征值较小的系数，则对图像 质量不会有大的影响。 用前 个最大的特征值对应的 个特征向量构成新的变换