2019年高考数学三轮冲刺专题08三角恒等变换与解三角形专项讲解与训练.docx

专题08三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及求值1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2. (1)已知，tan 2，则cos_(2)若tan()，则tan _(3)(2019洛阳第一次统考)若sin()，则cos(2)_【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)因为(0，)，tan 2，所以sin ，cos ，所以cos()cos cos sin sin ().(2)因为tan()，所以tan tan().(3)依题意得cos(2)cos(2)cos 2()2sin2()12()21.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦 【对点训练】1计算_(用数字作答)【答案】：【解析】：.2(2019合肥模拟)若(0，)，cos()2cos 2，则sin 2_【答案】：正、余弦定理在解三角形中的应用考向1求解三角形中的角1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等 (2)若ac6，ABC的面积为2，求b.【解析】：(1)由题设及ABC得sin B8sin2，故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.解三角形的创新交汇问题以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、不等式等交汇命题，且三种题型均可能出现 (2019洛阳第一次统考)如图，平面四边形ABDC中，CADBAD30.(1)若ABC75，AB10，且ACBD，求CD的长；(2)若BC10，求ACAB的取值范围【解析】(1)由已知，易得ACB45， 在ABC中，BC5.因为ACBD，所以ADBCAD30，CBDACB45，在ABD中，ADB30BAD，所以DBAB10.在BCD中，CD5.(2)ACABBC10，cos 60(ABAC)21003ABAC，而ABAC()2，所以()2，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10，20与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式 【对点训练】(2017高考山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b3，6，SABC3，求A和a.【解析】：因为6，所以bccos A6，又SABC3，所以bcsin A6，因此tan A1，又0A，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a29823229，所以a.正、余弦定理的实际应用解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 (2018惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _【答案】1【解析】由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.【对点训练】(2019福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.【答案】：22.6课时作业 基础达标1(2019陕西质量检测(一)已知角的终边过点P(4，3)，则cos()的值为()ABC D.【答案】B【解析】.由于角的终边过点P(4，3)，则cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，即cos()()，选B.2(2019广西三市第一次联考)已知x(0，)，且cos(2x)sin2x，则tan(x)等于()A. BC3 D3【答案】A 【解析】：选A.由cos(2x)sin2x得sin 2xsin2x，因为x(0，)，所以tan x2，所以tan(x).3(2019张掖第一次诊断考试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B为()A. BC. D.【答案】A【解析】.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因为cos B，所以sin B.4(2019云南第一次统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B，a，sin2 B2sin Asin C，则ABC的面积 SABC()A. B3C. D6【答案】B【解析】：选B.由sin2B2sin Asin C及正弦定理，得b22ac ，又B，所以a2c2b2 ，联立解得ac，所以SABC3，故选B.5(2018长沙模拟)ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A6sin(A)3 B6sin(A)3C2sin(A)3 D2sin(A)3【答案】C6设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C4sin A，(cacb)(sin Asin B)sin C(2c2)，则ABC的面积为_【答案】：【解析：由a2sin C4sin A得ac4，由(cacb)(sin Asin B)sin C(2c2)得(ab)(ab)2c2，即a2c2b22，所以cos B，则sin B，所以SABCacsin B.7(2019洛阳第一次统考)在ABC中，B30，AC2，D是AB边上的一点，CD2，若ACD为锐角，ACD的面积为4，则BC_【答案】：4【解析】：依题意得SACDCDACsinACD2sinACD4，则sinACD.又ACD是锐角，因此cosACD.在ACD中，AD4，sin A.在ABC中，BC4.8(2019宝鸡质量检测(一)如图，在RtABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB2，BC2，P为ABC内一点，BPC90.若APB150，则tanPBA_【答案】：【解析】：设PBA，在RtBCP中，PB2cos()2sin ，在PAB中，即，所以4sin cos ，所以tan .9(2019西安八校联考)已知ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos Accos Bbcos C.(1)求cos A的值；(2)若b2c24，求ABC的面积【解析】：(1)因为2acos Accos Bbcos C，所以2sin Acos Asin Ccos Bsin Bcos C，即2sin Acos Asin(BC)sin A. 又0A，所以sin A0.所以2cos A1，cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.因为2，所以a2sin A.由a2b2c22bccos A，得bcb2c2a2431，所以SABCbcsin A1.10(2019陕西质量检测(一)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知2acos2 2ccos2 b.(1)求证：2(ac)3b；(2)若cos B，S，求b.【解析】：(1)证明：由已知得，a(1cos C)c(1cos A)b.在ABC中，过B作BDAC，垂足为D，则acos Cccos Ab.所以acb，即2(ac)3b.(2)因为cos B，所以sin B. 因为Sacsin Bac，所以ac8.又b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)，2(ac)3b， 所以b216(1)所以b4.能力提升1(2019云南第一次统考)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若abcos Ccsin B，且ABC的面积为1，则b的最小值为()A2 B3C. D.【答案】A【解析】由abcos Ccsin B及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，即sin(BC)sin Bcos Csin Csin B，得sin Ccos Bsin Csin B，又sin C0，所以tan B1.因为B(0，)，所以B.由SABCacsin B1，得ac24.又b2a2c22accos B2acac(2)(42)4，当且仅当ac时等号成立，所以b2，b的最小值为2，故选A.2(2017高考山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A【答案】A【解析】由题意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b.3(2018湘中名校联考)已知函数f(x)cos x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)1，SABC，c，求ABC的周长【解析】：(1)f(x)cos x(cos xsin x)cos2 xsin xcos xsin 2xsin(2x)当sin(2x)1时，f(x)取得最小值.(2)f(C)sin(2C)1，所以sin(2C)，因为C(0，)，2C(，)，所以C.SABCabsin C，所以ab3，又a2b22abcos 7，所以(ab)216，即ab4，所以abc4，故ABC的周长为4.4(201