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文档简介

第五节 双曲线限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0),(4,0),则双曲线的方程为()A.1B1C.1 D1解析:选A.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0),(4,0),则c4,a2,b212,即双曲线方程为1,故选A.2(2018辽宁抚顺模拟)当双曲线M:1(2m0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx解析:选C.由题意可得c2m22m6(m1)25,当m1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线M的方程为x21,所以渐近线方程为y2x.故选C.3(2017全国卷)已知F是双曲线C:x21的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A. BC. D解析:选D.解法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x2时,代入双曲线C的方程,得41,解得y3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以APx轴,又PFx轴,所以APPF,所以SAPF|PF|AP|31.故选D.解法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x2时,代入双曲线C的方程,得41,解得y3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以(1,0),(0,3),所以0,所以APPF,所以SAPF|PF|AP|31.故选D.4(2018武汉市武昌区调研考试)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为()A6 B3C. D解析:选A.设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为a,半焦距为c,依题意知,2a2a4c,所以4246,当且仅当c2a时取“”,故选A.5(2018河南新乡模拟)已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若2,且|4,则双曲线C的方程为()A.1 B1C.1 D1解析:选D.不妨设B(0,b),由2,F(c,0),可得A,代入双曲线C的方程可得1,即,所以,又|4,c2a2b2,所以a22b216,由可得,a24,b26,所以双曲线C的方程为1,故选D.6已知点P,A,B在双曲线1(a0,b0)上,直线AB过坐标原点,且直线PA,PB的斜率之积为,则双曲线的离心率为()A. BC2 D解析:选A.根据双曲线的对称性可知点A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x,y),所以1,1,两式相减得,即,因为直线PA,PB的斜率之积为,所以kPAkPB,所以双曲线的离心率为e.故选A.7已知双曲线1的一个焦点是(0,2),椭圆1的焦距等于4,则n_解析:因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为1,即a23m,b2m,所以c23mm4m4,解得m1.所以椭圆方程为x21,且n0,椭圆的焦距为4,所以c2n14或1n4,解得n5或3(舍去)答案:58(2018四川绵阳模拟)设F1,F2分别为双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若AMN的面积为c2,则该双曲线的离心率为_解析:设M,根据矩形的性质,得|MO|OF1|OF2|c,即x2c2,则xa,所以M(a,b)因为AMN的面积为c2,所以2abc2,所以4a2(c2a2)c4,所以e44e240,所以e.答案:9设P为双曲线x21上的一点,F1,F2是该双曲线的左、右焦点,若PF1F2的面积为12,则F1PF2_解析:由题意可知,F1(,0),F2(,0),|F1F2|2.设P(x0,y0),则PF1F2的面积为2|y0|12.故y,将P点坐标代入双曲线方程得x,不妨设点P,则(,),可得0,即PF1PF2,故F1PF2.答案:10(2018河北石家庄质检)已知F为双曲线1(a0,b0)的右焦点,过原点的直线l与双曲线交于M,N两点,且0,MNF的面积为ab,则该双曲线的离心率为_解析:因为0,所以.设双曲线的左焦点为F,则由双曲线的对称性知四边形FMFN为矩形,则有|MF|NF|,|MN|2c.不妨设点N在双曲线右支上,由双曲线的定义知,|NF|NF|2a,所以|MF|NF|2a.因为SMNF|MF|NF|ab,所以|MF|NF|2ab.在RtMNF中,|MF|2|NF|2|MN|2,即(|MF|NF|)22|MF|NF|MN|2,所以(2a)222ab(2c)2,把c2a2b2代入,并整理,得1,所以e .答案:B级能力提升练11(2018江西宜春调研)已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M,N两点,若|MN|c,则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dy4x解析:选B.由题意得,双曲线的渐近线方程为yx,设垂直于直线l的渐近线方程为yx,则直线l的斜率k1,直线l的方程为y,整理可得,axbya20,焦点(c,0)到直线l的距离d,则|MN|22c,整理可得c49a2c212a3c4a40,即e49e212e40,即(e1)(e2)(e23e2)0,又双曲线的离心率e1,所以e2,所以ba,故双曲线C的渐近线方程为yx,故选B.12(2018甘肃兰州模拟)已知F1,F2为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P,PF1与双曲线相交于点Q,且|PQ|2|QF1|,则该双曲线的离心率为()A. B2C. D解析:选A.如图,连接PF2,QF2.由|PQ|2|QF1|,可设|QF1|m,则|PQ|2m,|PF1|3m;由|PF1|PF2|2a,得|PF2|PF1|2a3m2a;由|QF2|QF1|2a,得|QF2|QF1|2am2a.点P在以F1F2为直径的圆上,PF1PF2,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,|PQ|2|PF2|2|QF2|2.由|PQ|2|PF2|2|QF2|2,得(2m)2(3m2a)2(m2a)2,解得ma,|PF1|3m4a,|PF2|3m2a2a.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,|F1F2|2c,(4a)2(2a)2(2c)2,化简得c25a2,双曲线的离心率e,故选A.13已知双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|6,P是双曲线E右支上一点,PF1与y轴交于点A,PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|,则双曲线E的离心率是()A2 BC. D解析:选C.如图,设PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知,|AF1|AF2|,根据双曲线的定义,以及P是双曲线E右支上一点,得2a|PF1|PF2|,根据三角形内切圆的性质,得|PF1|AF1|PA|AF1|(|PM|AQ|),|PF2|PM|MF2|PM|QF2|PM|(|AF2|AQ|)所以2a2|AO|2,即a.因为|F1F2|6,所以c3,所以双曲线E的离心率是e,故选C.14(2018江西吉安一模)已知抛物线C1:y28ax(a0),直线l的倾斜角是45且过抛物线C1的焦点,直线l被抛物线C1截得的线段长是16,双曲线C2:1(a0,b0)的一个焦点在抛物线C1的准线上,则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是()A2 BC. D1解析:选D.抛物线C1的焦点为(2a,0),由弦长计算公式有16a16,a1,所以抛物线C1的标准方程为y28x,准线方程为x2,故双曲线C2的一个焦点坐标为(2,0),即c2,所以b,渐近线方程为yx,直线l的方程为yx2,所以点P(0,2),点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为1,选D.15已知双曲线1,过双曲线的上焦点F1作圆O:x2y225的一条切线,切点为M,交双曲线的下支于点N,T为NF1的中点,则MOT的外接圆的周长为_解析:如图,F1M为圆的切线,OMF1M,在直角三角形OMF1中,|OM|5.设双曲线的下焦点为F2,连接NF2,OT为F1F2N的中位线,2|OT|NF2|.设|OT|x,则|NF2|2x,又|NF1|NF2|10,|NF1|NF2|102x10,|TF1|x5.由勾股定理得|F1M|2|OF1|2|OM|213252144,|F1M|12,|MT|x7|,在直角三角形OMT中,|OT|2|MT|2|OM|2,即x2(x7)252,x.又OMT是直角三角形,故其外接圆的直径为|OT|,MOT的外接圆的周长为.答案:16(2018江西上饶质检)如图,双曲线

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