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第一章 随机事件和概率 考试要求: 1.理解事件概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质, 2. 会计算古典型概率,掌握概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式、以及贝叶斯公式。 3. 理解事件的独立性概念,掌握用事件独立性进行概率计算;,例、甲,乙,丙三人各射一次靶,记A“甲中靶” ;B“乙中靶” ;C“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件:,(1) “甲未中靶”: (2) “甲中靶而乙未中靶”: (3) “三人中只有丙未中靶”: (4) “三人中恰好有一人中靶”: (5)“ 三人中至少有一人中靶”:,(6)“三人中至少有一人未中靶”: (7)“三人中恰有兩人中靶”:,或,例2、在130这30个自然数中任取一数,取到的数能被3整除而不能被2整除的概率是:,A能被3整除的数,B能被2整除的数,例3 100件产品中,共有3件次品,其余为正品。现随机地取出两件产品:第一次任取一件产品,测试后放回原来的产品中,第二次再从中任取一件产品, 求取出的两件中恰有一件次品的概率。,解:,设 A=取出的两件中恰有一件次品,抽样特点?,有放回抽样,分析:,求出样本点总数?,求出所求事件包含的样本点数?,完成抽样,分二步:,因为是有放回抽样,所以,此试验的样本点总数n,=1002,每次都是从100个中取1个:100100,事件A发生有几种可能?,2种:,(正,次)或(次,正),由于事件A发生有(正,次)或(次,正) 2种可能,所以事件A包含的样本点数,共有m= 个,,所以,n()=1002,m(A)=,例4 100件产品中,共有3件次品,其余为正品。现随机地取出两件产品:第一次任取一件产品,测试后不再放回原来的产品中,第二次从第一次取出后所余下的产品中任取一件产品。 求取出的两件中恰有一件次品的概率。,解:,设 A=取出的两件中恰有一件次品,抽样特点?,无放回抽样,分析:,求出样本点总数?,求出所求事件包含的样本点数?,完成抽样,分二步,因为是无放回抽样,所以,n()=,分二步:,事件A发生有几种可能?,2种:,(正,次)或(次,正),由于事件A发生有(正,次)或(次,正) 2种可能,所以, m(A)=,所以,100,99,(或一步) :,例4.设10把钥匙中有3把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是多少?,解:,设 A=任意取两把钥匙, 能打开门,求出所求事件包含的样本点数?,事件A发生有几种可能?,2种:,(1)或(2)(1,1),事件A发生(至少有一把),若P(A)0, 则P(AB)=P(B|A)P(A) 若P(B)0,则P(AB)=P(A|B)P(B),条件概率,已知,若A、B独立,则有,定理1、 设A1,, An是的一个划分,且P(Ai)0,(i1,n), 则对任何事件B , 有,式(1.3.7)就称为全概率公式。,3.贝叶斯公式,定理:设试验E的样本空间为, A为E的事件,B1,B2,Bn为的一个划分,且P(A)0,P(Bi)0(i=1,2,n),则,i=1,2,n.称为贝叶斯(Bayes)公式。,例6.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。,注:A1,A2,A是样本空间 的一个划分。,B,设:B=买到一件次品 A1=买到一件甲厂的产品 A=买到一件乙厂的产品 A=买到一件丙厂的产品,例6.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,试求市场上该品牌产品的次品率。,B,随机抽取一产品,若已知是次品,则甲厂生产的概率,第二、三章 、随机变量及其概率分布 考试要求: 理解随机变量的概念;理解分布函数( F(x)=PXx )的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、泊松(poisson)分布及其应用. 了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的密度函数为 会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。,2.2、二维随机变量及其概率分布 考试要求 理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式:离散型联合概率分布,边缘分布和条件分布; 连续型联合概率密度、边缘密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。 理解随机变量独立性及不相关概念,掌握离散型和连续型随机变量独立的条件. 掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义.,例1 已知随机变量X的分布律为,试求(1)待定系数a,(2)概率P(X1/2)。,即可求得a=1/6。 (2),解: (1)由分布律的性质可知,.几个常用的离散型分布,(1)(0-1)分布(两点分布) 若随机变量X只可能取值0和1,则称X服从(0-1)分布(两点分布)。记作: XP(X=k)=pk(1-p)1-k, (0p1) k=0,1, 或,两点分布产生的背景是伯努利试验,而n重伯努利试验产生的分布是,二项分布。,()二项分布:若随机变量X表示n重伯努利试验事件A发生的次数,则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作XB(n,p),其分布律为:,如果一个随机变量X的分布律为 则称X服从参数为的泊松分布 记作: XP() k0,1,2, ,()泊松分布,XB(n,p):,例 某人射击,每次命中率为0.02,现独立进行200次射击. (1)求击中次数(随机变量)的分布律; (2) 至少击中2次的概率?,解:(1)设X表示射击200次击中的次数,由题意, XB(200,0.02),于是,X的分布律为:,一均匀分布 XU(a,b). 若连续随机变量X的概率密度,X的分布函数:,二. 指数分布 连续型随机变量X的概率密度为,倒数1/的实际意义是X的平均值。,XE().,为常数,则称X服从标准正态分布,记作:,.标准正态分布,密度函数:,一般正态分布的概率计算 若XN(,2),则X的分布函数为:,即,,一般的,,设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),假设测量的随机误差XN(0 , a2),试求在4次独立重复测量中恰好有二次测量的绝对值大于2.33a的概率((2.33)0.99),设A为每次测量误差绝对值大于23.3的随机事件,P(A)=P(|X|2.33a),=1-(2.33)-(-2.33) )2(1-(2.33)=2(1-0.99)=0.02,=1-P(|X| 2.33a) =1-P(2.33aX2.33a),设Y表示4次独立测量中事件A出现的次数,则: Yb(4 , 0.05),例 2.已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求P(0.5X1.5),1) 当x0时,,)0 x 1时,,3)1x 2时,,4) x2时,,P(0.5X1.5),=P(0.5X1.5),=F(1.5)-F(0.5),=0.875-0.125=0.85,设随机变量X的概率密度为fX(x),又设函数 Y=g(X)处处可导且恒有g(x)0 (或恒有g(x)0) , 则Y=g(x)的概率密度为,定理,其中x=h(y)为y=g(x)的反函数,,2. 特殊方法(公式法),连续型随机变量函数的分布,例3: 设随机变量XN(,2),试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。 证明:X的概率密度为,现在y=g(x)=ax+b,由这一式子解得 x=h(y)=(y-b)/a,由定理得Y=aX+b的概度密度为,所以 Y=aX+bN(a+b, (a)2 ),特别,在上例中取 a=1/ , b= -/ 得,P(x1X x2, y1Y y2)= F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) ,(x1, y2) (x2, y2) (x1, y1) (x2, y1),2.6 二维随机变量及其联合分布函数,定理 设(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij (i,j=1,2,) 其边缘分布律分别为PX=xi=pi (i=1,2,) PY=yj=p j (j=1,2,) 则X与Y相互独立的充要条件是对于任意i,j 有: pij= pipj,二、离散型随机变量独立的充要条件,X的分布律,Y的分布律,X与Y相互独立的充要条件是对于任意i,j 有: pij= pipj,例.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。,解: xy 1 0 pi. 1 1/10 2/10 0 4/10 3/10 p.j,故关于X和Y的边缘分布律分别为: X 1 0 Y 1 0 P 3/10 7/10 P 1/2 1/2,3/10,7/10,1/2,1/2,X,Y,1 0,1 0,是否相互独立?,求出相关系数?,例4.设,求:(1)常数A;()P(-1X1,-1Y1),解(1)由归一性,D,4随机变量X与Y独立且均服从正态分布 求,若Xi服从n维正态分布 N(i,i2), Xi相互独立, i=1,2,n. 则,且X与Y独立,设二维随机变量,的联合密度函数,求(1),的边缘密度函数;,时,,的条件密度函数,(3),(2)当,故,故,(2) 当,(2) 当,时,(3),.,第四章、随机变量的数字特征 考试要求 理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念,并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征。 会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望;会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望. 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布和指数分布和正态分布的数学期望和方差 第五章、大数定理和中心极限定理 考试要求 掌握利用切比雪夫不等式的概率计算。 会利用隶莫弗拉普拉斯定理和独立同分布的中心极限定理近似计算。,数学期望描述随机变量取值的平均特征。,1)(0,1)分布的数学期望: E(X)=p; D(X)=p(1-p) 2) 若XB(n,p),则E(X)=np; D(X)=npq,3) 若XP(),则E(X)=; D(X)=,方差-衡量随机变量取值波动程度(稳定性)。,(1)D(X)=EX-E(X)2;,(2) D(X)=E(X2)-E(X)2,1).若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2.,2). 若XN(,2),则E(X)=; 3).若X服从指数分布 ,则E(X)=1/。,数学期望的性质 (1) C为常数,则有E(C)=C; (2) 设C常数,则E(CX)=CE(X); (3) E(XY)=E(X) E(Y),(4) X,Y相互独立,有: E(XY)=E(X)E(Y),方差的性质 假定以下所遇到的随机变量的方差存在: (1) 设C是常数,则D(C)=0; (2) 设X是随机变量,a是常数,则D(aX)=a2D(X), 进一步有:D(aX+b)=a2D(X); (3) 设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(XY)=D(X)+D(Y);,推广:,(4)D(XY),协方差和相关系数的定义 : Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y). 而当D(X)0, D(Y)0时, 称为随机变量X与Y的相关系数:,1)用定义求:,(2)用公式:,例1设X的密度函数为:,且 ,,求E(X)和E(XY),所以xf(x),0,是奇函数,,0,例2:设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量X和Y=X2的数学期望,Y,Pk,1 0,例3. 已知随机变量,与,相互独立,且,,,,试求:,。,Cov(X,Y),(3) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y),Cov(X,X),例4、设随机变量 XB(100,0.1), 求1)E(X)-D(X) ;2) E(Y)D(Y) 3) 求E(Z),E(X)-D(X),1000.1-1000.10.9,1091,E(Y)D(Y),10.510.52,246,例5.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,解,第五章、大数定理和中心极限定理 考试要求 掌握利用切比雪夫不等式的概率计算。 会利用隶莫弗拉普拉斯定理和独立同分布的中心极限定理近似计算。,例1、设随机变量XB(100,0.1),用切比雪夫不等式估计,解: XB(100,0.1),所以 由切比雪夫不等式,E(X)1000.110,2D(X)1000.10.99,例2 已知某随机变量X的平均值为1,标准差为0.1,求a,使得X超过1+a或低于1-a的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,例3.将一颗骰子连掷100次,则点数之和不少于300的概率是多少?,解:设 Xk为第k 次掷出的点数, k=1,2,100, 则 X1,X100 是独立同分布.,由中心极限定理,N(0,1),首先要设随机变量:,掷一次的点数,例4. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验,该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.,设 为第i周的销售量,i1,2,52,则, 独立同1的泊松分布,且,首先要设随机变量,X P() (),其分布律为 则E(X)= D(X)= ,由独立同分布的中心极限定理:,N(52,52 ),N(521,521),例4. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验,该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间

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