[理学]第3章动量定理.ppt

动量,单位：千克米/秒, kgm/s,3.1 质点的动量定理,一、动量定理,momentum,质点质量与速度的乘积，可以表征质点瞬时运动的量，称为动量。,由Newton第二定律，得：,这就是动量定理。,在经典力学范围内，m=constant，动量定理与F=ma等价，但在高速运动情况下，只有动量定理成立。,即：,momentum theorem,由动量定理，有：,二、冲量定理,元冲量,冲量,冲量,impulse,作用在质点上的某力对时间的累计，称为该力对质点的冲量。,单位：牛顿秒, Ns,冲量是矢量，其方向为合外力的方向。,冲量定理：,即：合外力的冲量等于质点的动量增量。,impulse theorem,在冲击过程中，力一般是时间的函数。冲击过程中任一时刻质点所受的合力称为此时刻质点上的冲力。,平均冲力与同段时间内变力等效。,冲力,当变化较快时，力的瞬时值很难确定，用一平均力代替该过程中的变力，这一等效力称为冲击过程的平均冲力。,impulsion,平均冲力,mean impulsion,例1：撑杆跳运动员从横杆跃过,落在海棉垫子上不会摔伤，如果不是海棉垫子，而是大理石板，又会如何呢？,思考,例2：汽车从静止开始运动，加速到20m/s。如果牵引力大，所用时间短；如果牵引力小，所用的时间就长。,动量与冲量的区别,.动量是状态量；冲量是过程量；,.动量方向为物体速度方向；冲量方向为作用时间内动量变化的方向。,讨论,冲量定理的使用,.计算冲量时，无须确定各个外力，只须知道质点始末的动量即可。,.F为合外力，不是某一个外力。,.动量定理的分量式：,.平均冲力的计算由：,解：,以人为研究对象，可分为两个运动过程，,1.自由下落过程到达地面时的速率为：,2.与地面接触碰撞过程，受力分析，规定向上为坐标正向。,例：质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从 5 米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为 1 秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。,由：,可以看出当物体状态变化相同量，力的作用时间越短，物体受到的冲击力就越大。当作用时间很短时，重力可忽略不计。,即：,例1.质量分别为 mA 和 mB ( mA mB )的两质点 A 和 B ,受到相等的冲量作用,则：, C ,(A) A 比 B 的动量增量少. (B) A 比 B 的动量增量多. (C) A 、 B 的动量增量相等. (D) A 、 B 的动能增量相等.,思考题,例2.质量为 20g 的子弹沿 x 轴正向以500m/s的速度射入一木块后，与木块一起以50m/s 的速度仍沿 x 轴正向前进，在此过程中木块所受冲量的大小为,（A）,（B）,（C）,（D）, A ,例3.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为：,（A）mv,（B）0,（C）2mv,（D）-2mv, D ,例4.体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是,（A）甲先到达。,（B）乙先到达。,（C）同时到达。,（D）谁先到达不能确定。, C ,以甲、乙、绳、滑轮为系统,例5.图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度匀速转动。在小球转动一周的过程中，求：,小球动量增量的大小。,小球所受重力的冲量大小。,小球所受绳子拉力的冲量大小。,小球运动一周动量变化为0。,由可知，小球所受重力和拉力的冲量为0，因此，拉力的冲量必然等于小球重力冲量的负值，即：,解：,3.2 质点系的动量定理,一、质点系, 在实际问题中，选取质心作用参考点，常使得问题简化。,质心,相互作用的质点构成的整体，称为质点系。由运动的可迭加性质（亦即矢量的性质），质点系的整体运动可以看做是各个质点单独运动的迭加。,质心的位矢,mass center,particle system,将质点系看做是具有质量中心的系统，质点系的运动可以由此点的运动来替代。这个特殊点叫做质点系的质量中心，简称质心。,对于N个质点组成的质点系中的第i个质点，满足动量定理 ：,二、质点系的动量定理,N个质点列出N个方程，取和得到：,显然：,即：质点系的合外力导致总动量的变化。,resultant external force,即：合外力的冲量等于质点系动量的增量。,动量守恒定律,即：质点系的合外力为零时，系统的总动量保持不变，也就是质点动量的矢量和不变。,三、质点系的冲量定理,显然：,外力元冲量为：,积分得到：,The law of conservation of momentum,3.3 动量守恒律,1.内力不会改变系统的动量，只有外力可改变系统的动量。,例如：两队运动员拔河，有的人说甲队力气大，乙队力气小，所以甲队能获胜，这种说法是否正确?,讨论,质点系的动量定理,分析： 拔河时，甲队拉乙队的力，与乙队拉甲队的力是一对作用力与反作用力，为系统的内力，不会改变系统总的动量。只有运动员脚下的摩擦力才是系统外力，因此哪个队脚下的摩擦力大，哪个队能获胜。所以拔河应选质量大的运动员，以增加系统外力。,2.动量守恒是指总动量不变，各个质点的动量是可以变化的，通过内力的作用，动量在系统内的各个质点间进行转移。,3.动量守恒定律要求合外力为零的条件比较苛刻，如果内力远大于外力，或内力的冲量远大于外力的冲量时，可以当作合外力为零的近似情况。,4.动量定理与动量守恒定律都是矢量方程，在选取合适的坐标系后，可以写成相应各分量方程形式，则方程两端的物理含义表明了相应方向上的合外力与动量变化之间的关系。,例如：导弹的出射、鞭炮的爆炸等。,例: 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明：在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。,设 t=0 时刻，绳的上端为 x 轴的原点O ，向下为正方向，绳长为 l ,总质量为 M 。,则t时刻，已落到桌面上的绳长为x，质量为：,重力为：,以之为研究对象，受力如图所示。,由平衡条件：,代入得到：,重力,平均冲击力,支持力,求 T：取 dt 内落至桌面的 dx 为研究对象，受力如图所示：,下落时桌面绳子对它的作用力，即平均冲击力的反作用力：,由动量定理：,即：,碰撞过程可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞、完全非弹性碰撞。,特点：机械能守恒、动量守恒。,碰前,碰撞,四、碰撞过程,1.完全弹性碰撞,碰后,totaly elastic collision,colliding process,由机械能守恒：,由动量守恒：,联立求解：,2.讨论：,当m1m2，且第二个球静止时，则碰撞后，第一个球以原速反弹回来，而第二球仍保持静止。,相同质量两个球发生弹性碰撞，碰撞两球速度交换。,当m1m2时，且第二个球静止，则碰后，第一个球速度不变，而第二球以2倍于第一个球的初速度运动。,特点：机械能不守恒，动量守恒。碰撞后两物体合为一体。物体形变能量不能恢复。,2.完全非弹性碰撞,碰前,碰后,totally non-elastic collision,例1.质量为 M =2.0 kg 的物体（不考虑体积）,用一根长 l =1.0 m 为的细绳悬挂在天花板上,今有一质量为 m=20 g 的子弹以v0=600 m/s 的水平速度射穿物体,刚射出物体时子弹的速度大小 v = 30 m/s, 设穿透时间极短,求:,子弹刚穿出时绳中张力的大小。 子弹在穿透过程中所受的冲量。,因穿透时间极短,可认为物体未离开平衡位置,因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向, 故系统在水平方向上动量守恒,设子弹穿出时物体的速度为 则:,解：,- 号表示冲量的方向与速度方向相反，即水平向左。,子弹穿出瞬间，物体绕悬挂点做圆周运动：,（2）子弹受冲量:,例2.一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块。第一块质量为m，速度v1=800m/s，向西；第二块质量为m，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为2m，求：第三块弹片的速度大小和方向。,3.4 角动量 角动量定理,动量矩（角动量）,角动量是另一种矢量矩。对点的动量矩定义如右图所示。,一、矢量矩,对某一参考点而言，定义矢量对此点的矩，称为对点的矢量矩；对某轴的矩，称为对轴的矢量矩。,力矩（角力）,力矩是一种矢量矩。对点的力矩定义如右图所示：,o,o,vectors moment,moment,angular momentum,冲量矩（角冲量）,冲量矩是另一种矢量矩。对点的冲量矩定义为：,元冲量矩,冲量矩,即：力对给定点的冲量矩定义为力对该点的力矩对时间的累积。,.同一矢量对不同的参考点，相应的矢量矩是不同的。,.力矩、动量矩、冲量矩是转动力学量，与平动力、动量、冲量相当。,单位：牛顿米秒， N m s,angular impulsion,注意,平动中的动量定理:,二、角动量定理,对上式做以下矢量运算:,由于:,得到:,即：动量矩的时间变化率来源于作用在点上的合力矩。,angular momentum theorem,即：合外力的冲量矩等于质点对同一参考点的的角动量的增量。,三、冲量矩定理,角动量守恒率,由角动量定理:,显然有:,即：作用在点上的合力矩为零时，质点对参考点的动量矩不变。,由角动量定理:,积分得到冲量矩定理:,The law of conservation of angular momentum,3.5 角动量守恒律、冲量矩定理,angular impulsion theorem,.角动量与动量是两个不同的物理量，角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向。,.角动量定理中的力矩、动量矩、冲量矩必须是对同一参考点计量的。,.对于变力矩，可用平均力矩代替:,.恒力矩情况：,.转动力学量的方向总以逆时针的力学效果为正、顺时针的力学效果为负。,注意,1.确定研究对象；,2.受力分析（考虑产生力矩的力）；,3.规定正向，确定始末两态的角动量；,4.应用定理列方程求解。,四、典型问题,1.动量矩定理与冲量矩定理,例：在摩擦系数为桌面上有细杆，质量为 m、长度为 l，以初始角速度 0 绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。,解：以细杆为研究对象作受力分析。重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。,确定细杆受的摩擦力矩,分割质元dm,细杆的质量密度为：,质元受的摩擦力矩,细杆受的摩擦力矩,由冲量矩定理：,得到：,2.角动量守恒定律的典型问题,.对于定轴转动，转动惯量J为常数，角速度 也为常数， =o,即质点在外力矩的矢量和为0时，如原来静止，则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。验证了牛顿第一定律。,. 质点在有心力作用下的角动量总是守恒的。,例：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？,comet,Sun,分析： 绕太阳轨道运转过程中，只受万有引力作用，万有引力不产生力矩，系统角动量守恒。,近日点,远日点,comet,Sun,perihelion,