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第6章 数理统计的基本概念,第1章至第5章属于概率论范畴; 第6章至第9章属于数理统计范畴。 概率论、数理统计都是研究随机现象的统计规律性的数学分支,但两者研究角度不同。,概率论:从已知分布出发,研究r.v. X 的性质、规律、数字特征等等演绎 数理统计:X 的分布不知道或不完全知道,观察它的取值(采集数据),通过分析数据来推断 X 服从什么分布或确定未知参数归纳,收集、整理数据 统计推断,数理统计,2,6.2 总体与样本,1.总体:研究对象的全体(如:一批灯泡的寿命) 试验的全部可能的观察值 通常指研究对象的某项数量指标,从本质上讲,总体就是所研究的随机变量,个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命),总体对应一个r.v. X,笼统称总体X(或Y、Z大写表示),每个可能的观察值,如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度,3,(1)简单随机抽样 随机性:每个个体被抽到的机会均等 独立性:每次抽取后不改变总体的成分,同分布性 Xi 与总体X 同分布 独立性 X1 ,Xn 相互独立,(2)对总体作n次“简单随机抽样”,得到n个个体:X1,X2,Xn,称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本。,(3)把(X1,Xn)的观察值 (x1,xn)为称为样本观察值(或样本值),2.样本,4,来自总体X的样本X1, ,Xn可记为,显然,样本联合分布函数或概率密度为,或,5,3. 总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,?,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值,去推断总体的情况总体分布。,经验分布函数,设X1,X2,Xn是总体F(x)的一个样本,S(x)是X1,X2,Xn中不大于x 的个数,定义经验分布函数为 Fn(x)=S(x) /n, - x+,例1.设总体X有样本值x1=1,x2=2,x3=3,x4=2, 则X的经验分布函数为,x,x,x,x,0, x1;, 1x2;, 2x3;,1, x3,6.3 样本观察值的整理,x(1) x(2) x(n),则经验分布函数为,一般,设样本值x1,x2,xn依次排列:,定理 (格里汶科) 经验分布函数Fn(x)以概率1关于x一致收敛于F(x):,8,6.4 统计量与抽样分布,定义:设(X1, ,Xn )是来自总体X 的样本,称不含未知参数的样本函数 g(X1, ,Xn )为总体 X 的一个统计量。,注: 统计量是一个一维随机变量,,统计量的分布称为抽样分布.,例1.设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,XN(,2), 且已知, 2 未知,问下列样本函数哪个是统计量?,是统计量,不是统计量,10,几个常用的统计量 :,1. 样本均值,2. 样本方差,反映总体方差D(X)的信息,反映总体均值E(X)的信息,样本标准差,反映总体标准差的信息,反映总体k 阶中心矩E(X-EX)k的信息,样本k阶中心矩,3. 样本k阶(原点)矩,反映总体k阶矩E(Xk)的信息,12,4. 最小顺序统计量 X(1)=min(X1,X2,Xn),最大顺序统计量 X(n)=max(X1,X2,Xn),注1:,观察值用小写表示,记为,注2:,13,(一)2分布,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布: 2分布、 t 分布 和 F分布,构造:设 ,则,称为自由度为 n 的2分布,注:若,来自正态总体 ,则,14,1. 2分布的密度函数f(y)曲线,15,设 且 相互独立, 则,2. 2分布具有可加性,16,3. 分布的数字特征,证:, X1,X2,Xn为N(0,1)的样本,E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1,于是,又 D(Xi2)=E(Xi4)-E(Xi2)2, 而, D(Xi2)=2,,17,4. 分布的分位点,当n45, 有近似公式,对,若,满足,则称,为 的 分位数,例2.,例3.,18,构造:若 XN(0, 1), Y2(n), 且 X 与 Y 独立,则,称为自由度为 n 的 t 分布。,(二)t 分布,1. t(n)的概率密度为,19,2. h(t)基本性质(p171): (1) 关于t=0(纵轴)对称。 (2) 极限为N(0,1)的密度函数,即,20,3. t分布的分位点,注:,当n45, 有近似公式,例4.,21,(三)F 分布,称为自由度为(n1,n2)的 F 分布.,构造: 若 ,且U、V 独立,则,1. 概率密度为,22,2. F 分布的性质,1) 若 FF(n1,n2),则,2) 若 Tt(n),则 T2 F(1,n),证:,XN(0,1),T2F(1,n),3. F 分布的分位点,24,证明: 设 F F(n1,n2), 则,注:,25,正态总体的抽样分布定理,26,证明:,是n 个独立的正态

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