2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算训练案北师大版.docx_第1页
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文档简介

2.6 距离的计算,学生用书单独成册)A.基础达标1若A(3cos ,3sin ,1),B(2cos ,2sin ,1),则|的取值范围是()A0,5B1,5C(1,5) D1,25解析:选B.|,因为1cos()1,所以1|5.2正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,则异面直线AC与A1D的距离为()A. B.C. D1解析:选A.建立如图坐标系,连接B1C,AB1,因为A1D平面AB1C,所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,2),(0,0,2)设n(x,y,z)为平面AB1C的法向量,由n0,n0得:xyz,可取n(1,1,1),故A1到平面ACB1的距离为.3若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60角,则A1C1到底面ABCD的距离为()A. B1C. D.解析:选D.以D为坐标原点,为x,y,z轴正向建立坐标系,C(0,1,0),C1(0,1,),A(1,0,0),(0,0,),(1,1,),易知平面ABCD,可取为平面ABCD的法向量,故A1C1到平面ABCD的距离为.4把边长为a(a0)的正ABC沿高线AD折成60的二面角,则点A到BC的距离是()Aa B.aC.a D.a解析:选D.建立如图所示的空间直角坐标系,因为正ABC边长为a,所以|BD|DC|,所以B(,0,0),A(0,0,a),C(,a,0),所以(,0,a),(,a,0)与同向的单位向量为s0(,0)所以da.5正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.a B.aC.a D.a解析:选D.明显A1C平面AB1D1,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则平面AB1D1的一个法向量为n(1,1,1),A(a,0,0),B(a,a,0),(0,a,0),则两平面间的距离为d|a.6已知点A(1,2,1),B(1,3,4),D(1,1,1),若2,则空间P,D两点间的距离为_解析:设P(x,y,z),由(x1,y2,z1)22(1x,3y,4z)(22x,62y,82z),得即故|PD|.答案:7三棱锥SABC中,SA平面ABC,ABAC,且ASABAC2,D是SA的中点,则点D到BC的距离为_解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),所以(2,0,1),(2,2,0),所以在上的投影长为,故D到BC的距离为 .答案:8已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则点C1到平面AB1D的距离为_解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,a,0),B1(a,a),D(0,a,),C1(0,a,a),设平面AB1D的法向量为n(x,y,z),则即所以取z2,则y1,x,所以n(,1,2),(0,0,),则点C1到平面AB1D的距离为a.答案:a9.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD,且ABAD1,BB2,M,N分别是AD,DC的中点,求直线AC与直线MN的距离解:依据长方体的性质可知ACMN,故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1,1,0),(0,2)所以点M到直线AC的距离d .10如图,在四棱锥SABCD中,ADBC且ADCD,平面CSD平面ABCD,CSDS,CS2AD2,E为BS的中点,CE,AS.求点A到平面BCS的距离解:如图,以S(O)为坐标原点,OD、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系设A(xA,yA,zA),因平面COD平面ABCD,ADCD,故AD平面COD,即点A在xOz平面上,因此yA0,zA|1.又x12|23,xA0,解得xA.从而A(,0,1)因ADBC,故BC平面CSD,即平面BCS与平面yOz重合,从而点A到平面BCS的距离为xA.B.能力提升1空间直角坐标系中(O为坐标原点),在坐标平面xOy上到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有()A1个B2个C不存在 D无数个解析:选D.过AB的中点(3,3)且以(0,3,4)为法向量的平面上的点到A、B的距离相等2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别为线段BD1,CC1上的动点,则PQ的最小值为()A. B.C. D.解析:选D.PQ的最小值即为异面直线CC1,BD1间的距离,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D1(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),所以(1,1,1),(0,0,1),设Q(1,1,z),z0,1,令(0,1),则(,),所以(1,),(,1,z),因为所以所以z,即P(,),Q(1,1,),故|PQ|.3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60,则AD的长为_解析:建立如图坐标系,设|,C(0,0,0),D(1,0,),B(0,2,0),B1(0,2,2),(1,0,),(0,2,2),(0,2,0)为平面C1DC的法向量,设n(x,y,z)为平面B1DC的法向量,由n0,n0得:xz0,yz0,可取n(,1,1)则cos 60,得.故|.答案:4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为_解析:以D为坐标原点, 以,为x,y,z轴正向建立坐标系,在线段AB上取点E,使|,易得,则AM平面ENC,则异面直线AM与CN的距离等于M到平面ENC的距离,E(1,0),N(1,1,),C(0,1,0),M(1,1),(0,),(1,0),(0,1),设n(x,y,z)为平面ENC的法向量,由n0,n0得y2z4x,可取n(1,4,2),故AM与CN的距离为.答案:5已知正方形ABCD的边长为1,PD平面ABCD,且PD1,E,F分别为AB,BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离解:(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,0),F(,1,0),(,0),(1,1),设平面PEF的法向量n(x,y,z),则n0且n0,所以令x2,则y2,z3.所以n(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d,因此,点D到平面PEF的距离为.(2)因为(0,0),所以点A到平面PEF的距离为d,所以AC到平面PEF的距离为.6(选做题)已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求点C1到平面A1AB的距离解:(1)证明:如图,取AB的中点E,连接DE,则DEBC,因为BCAC,所以DEAC,且A1D平面ABC,以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),设A1(0,0,t),C1(0,2,

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