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小专题(十一)一次函数与方程、不等式的应用1 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李,当行李的质量超过规定时,需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数已知行李质量为20 kg时需付行李费2元,行李质量为50 kg时需付行李费8元(1)当行李的质量x超过规定时,求y与x之间的函数关系式;(2)求旅客最多可免费携带行李的质量解:(1)设y与x的函数关系式为ykxb.将(20,2),(50,8)代入ykxb,得解得当行李的质量x超过规定时,y与x之间的函数关系式为yx2.(2)当y0时,x20,解得x10.答:旅客最多可免费携带行李10 kg.2 甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示乙公司方案:绿化面积不超过1 000平方米时,每月收取费用5 500元;绿化面积超过1 000平方米时,每月在收取5 500元的基础上,超过部分每平方米收取4元(1)求如图所示的y与x的函数解析式;(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护费用较少解:(1)设ykxb,则有解得y5x400.(2)当绿化面积是1 200平方米时,甲公司的费用为6 400元,乙公司的费用为5 50042006 300(元),6 3006 400,选择乙公司的服务,每月的绿化养护费用较少3 某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹共100吨第一批蒜薹价格为4 000元/吨;因蒜薹大量上市,第二批价格跌至1 000元/吨这两批蒜薹共用去16万元(1)求两批次购进蒜薹各多少吨?(2)公司收购后对蒜薹进行加工,分为粗加工和精加工两种:粗加工每吨利润400元,精加工每吨利润1 000元要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍为获得最大利润,精加工数量应为多少吨?最大利润是多少?解:(1)设第一批购进蒜薹x吨,第二批购进蒜薹y吨由题意,得解得答:第一批购进蒜薹20吨,第二批购进蒜薹80吨(2)设精加工m吨,总利润为w元,则粗加工(100m)吨由m3(100m),解得m75,利润w1 000m400(100m)600m40 000,6000,w随m的增大而增大m75时,w有最大值为85 000元4某工厂生产一种产品,当产量至少为10吨,但不超过55吨时,每吨的成本y(万元/吨)与产量x(吨)之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:x(吨)102030y(万元/吨)454035(1)求y与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(2)市场调查发现,这种产品每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间满足如图所示的函数关系该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨,请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润(注:利润售价成本)解:(1)设y关于x的函数解析式为ykxb,将(10,45),(20,40)代入解析式,得解得y0.5x50(10x55)(2)设每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间的函数解析式为mk1nb1,把(40,30),(55,15)代入解析式得解得mn70,当m25时,n45,在y0.5x50(10x55)中,当x25时,y37.5,利润为25(4537.5)187.5(万元)5(2018铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张,并且每买1张办公桌必须买2把椅子,椅子每把100元,若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24 000元;购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2 000元(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元?(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张,且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用解:(1)设甲种办公桌每张x元,乙种办公桌每张y元根据题意,得解得答:甲种办公桌每张400元,乙种办公桌每张600元(2)设甲种办公桌购买a张,则乙种办公桌购买(40a)张,购买的总费用为y元,则y400a600(40a)240100200a32 000,a3(40a),a30.2000,y随a的增大而减小当a30时,y取得最小值,最小值为26 000元答:购买甲、乙两种办公桌分别为30张、10张时,费用最少,为26 000元6(教材P100习题T15变式)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数关系式;(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?解:(1)y甲0.8x.y乙(2)当0x2 000时,0.8xx,到甲商店购买更省钱;当x2 000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x0.7x600,解得x0.7x600,解得x6 000;若到甲、乙两商店购买一样省钱,则0.8x0.7x600,解得x6 000.故当购买金额按原价小于6 000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6 000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6 000元时,到甲、乙两商店购买一样7 赛龙舟是端午节的主要习俗,某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛,从起点A驶向终点B,在整个行程中,龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)起点A与终点B之间相距多远?(2)哪支龙舟队先出发?哪支龙舟队先到达终点?(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x的函数关系式;(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米?解:(1)由图可得,起点A与终点B之间相距3 000米(2)由图可得,甲龙舟队先出发,乙龙舟队先到达终点(3)设甲龙舟队的y与x的函数关系式为ykx.把(25,3 000)代入,可得3 00025k,解得k120.甲龙舟队的y与x的函数关系式为y120x(0x25)设乙龙舟队的y与x函数关系式为yaxb.把(5,0),(20,3 000)代入,可得解得乙龙舟队的y与x的函数关系式为y200x1 000(5x20)(4)令120x200x1 000,可得x12.5.即当x12.5时,两龙舟队相遇当x5时,令120x200,则x(符合题意);当5x12.5时

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