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文档简介

第九章 球坐标系下的分离变量 球函数,本章内容概要:,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量 给出该亥姆霍兹方程分离变量的解,9.2 9.3 (缔合)勒让德函数、球函数的性质,母函数、递推公式、正交归一性关系、,前几阶的勒让德多项式, 球坐标系下分离变量法的应用:见本章6道例题,令: , 代入得:,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量,一.亥姆霍兹方程的引入,分离变量得:,: 亥姆霍兹方程,对三维波动方程,为使 t 时, T(t) 有限, 取,Tips: k = 0时,取T(t)Constant 位势方程,二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量,1. 径向坐标 r 和角向坐标 的分离变量,令 , 代入Helmholhz方程:,方程两边同时乘以 ,整理得:,= 0,即:,2. 角向坐标 q 和 j 的分离变量,令 , 代入角向方程:,方程两边同时乘以 ,整理得,即:,3. 的本征问题求解,(自然周期条件),本征值: 本征函数:,或, 本征值: 本征函数:,4. 的本征问题求解,有限值,(自然边界条件),令 x = cosq,则 dx = - sinq dq,此即 l 阶勒让德方程, 满足 有限的本征解为:,本征值: 本征函数:, m = 0, 的方程变为:,此时 为常数 即,绕 z 轴对称, m 0 时, 令 , 方程变为:,为求方程的解, 考虑勒让德多项式满足的方程:,对 x 求 m 次导:,整理, 得:,比较上式与(*)式,知本征解为:,记 为缔合勒让德函数,由勒让德函数的微分表达式, 得:,注意到 为 l 阶多项式, 使 , 则,从 的微分表达式,也可看出,若先选定 m,则,若先选定 l ,则,或,本征值: 本征函数:,或者:,附注:(缔合)勒让德函数的正交归一关系:,或者:,范数:,范数:,详细证明见下节,5. 总结:角向函数 的本征问题,本征值:,本征函数:,本征值:,或者:,本征函数:,为有限值,(自然周期边界条件) (有界条件),例: 量子力学中, 定义角动量平方算符 为,则:,即:算符 有分立的本征值:,称为球谐函数。球谐函数具有正交性。,因此,函数 ,可在球坐标系展开为:, k = 0 时,径向方程为欧拉方程:,令 ,得其解为:, k 0 时,方程称为 l 阶球贝塞尔方程:,此时, 令,径向方程:,根据前面的讨论,l 为自然数,即,6. 径向函数 的求解,此时Helmholhz方程 变为Laplace方程 .,根据对贝塞尔方程的讨论,方程通解为:,通常令,分别称为 l 阶球贝塞尔函数和 l 阶球诺依曼函数。,则 l 阶球贝塞尔方程的通解为:,方程化为:,l 为整数,则方程为半奇数阶贝塞尔方程,7. 总结:球坐标系下Helmholhz方程的通解形式, k = 0 时, Helmholhz方程即为Laplace方程(位势方程), k 0 时,或者:, 若讨论的问题具有旋转对称性,则 m = 0,此时, k2(本征值)可由径向(r)的边界条件给出.(例9.3),方程,一般情形 m0,绕极轴 旋转对称 (m = 0),球对称 (m = 0 且 l = 0),Helmholtz方程,Laplace(位势)方程,球坐标系下 方程的通解,9.2 球函数 9.3(缔合)勒让德多项式,一. 勒让德多项式的母函数(生成函数),在单位球的北极, 置电荷量为 的正电荷.,球内 M 点与 N 点距离为:,N,则, M 点电势为:,u(M) 也可由拉普拉斯方程通过分离变量法求出。, 此问题关于 z 轴对称; 且 球内电势有限.,令 , 则因 , 有:,又,,由9.1的讨论知,此问题通解为:,因此,称为勒让德多项式的母函数,同理得:,因此,勒让德函数是函数 在 r = 0 处的泰勒/洛朗展开的系数.,比较 r 的 l 次幂的系数:,二. 勒让德多项式的递推公式,由母函数公式,两边对 r 求导,得,整理,得递推公式:,三. 勒让德多项式的正交归一关系,(缔合)勒让德方程是Sturm-Liouville方程的一例, 因此(缔合)勒让德多项式在 -1, 1 上正交。, 下面由勒让德方程证明正交归一关系。,或者:,,并在-1, 1积分得,作分部积分, 相减结果为零,又 k l,故,1. 正交性,2. 归一关系,上式两边平方,并在-1, 1积分,由正交性得:,将方程左边也展开为 r 的级数表达式:,比较 的系数得:,母函数关系:,由勒让德多项式的正交归一关系, 可将在区间 -1, 1上的函数 f (x) 用勒让德多项式展开。,四. 缔合勒让德函数,1. 缔合勒让德函数的引入,在9.1讨论中, 通过对勒让德方程微分 m 次, 验证了缔合勒让德方程的解,即缔合勒让德函数。,2. 缔合勒让德函数的递推公式,证明方法:由勒让德多项式的递推公式求m 次导,并利用勒让德函数的母函数公式。 详见课本 Page 167-168 的证明。,缔合勒让德函数有其他递推公式,可参考: 王竹溪特殊函数概论, 刘式达、刘式适特殊函数.,同 m , 不同 l 的递推公式:,例如:同 l,不同 m 的递推公式,3. 缔合勒让德函数的正交归一关系,证明:令,将 代入,并分部积分,(此项为0),(分部积分),(作微分运算),放大,根据同 l 不同 m 的递推公式,将该式递推 m 次:,上式中用到 勒让德多项式正交归一关系,得证!,4. 负指标的缔合勒让德函数,在亥姆霍兹方程方程的通解中,用到,不能由 定义,考虑利用微分表达式定义 .,则 :,并且可证:,Eg. 前几阶的勒让德函数,Question: l 阶缔合勒让德函数,x 的次数是多少?,或者: (复数形式),是Helmholtz方程在自然周期条件 + 边界值有限条件下的角向本征函数.,五. 球谐函数,球谐函数满足的方程为:,球谐函数为(实函数形式):,l 阶独立的球函数共 2l + 1 个,由缔合勒让德函数的正交归一关系:,以及j方向本征函数系 的正交归一关系:,得复数形式球谐函数的正交归一关系:,其中 为 的复数共轭,即:, 球谐函数的递推公式,可由 递推公式推导 的递推公式, 本节主要结论:,一. 勒让德函数的母函数公式,二. 勒让德函数的递推公式,三. 勒让德函数的正交归一关系,四. 缔合勒让德函数,1. 定义:,2. 缔合勒让德函数的递推公式 (了解),同 m , 不同 l 的递推公式:,同 l,不同 m 的递推公式,3. 缔合勒让德函数的正交归一关系 (重要),4. 时的缔合勒让德函数 (了解),或复数形式:,五. 球谐函数,l 阶独立的 球函数共2l+1个,复数形式的球谐函数的正交归一关系:, 球谐函数的递推公式 (了解),例9.2 一半径为a 的空心球, 若在其表面一半充电到电势 u0, 另一半电势为0, 求球内外电势分布。,解:球内,球外,习题9.1 第2题 匀强电场中放置一接地导体球,球的半径为a,求球外的电势。,例9.3 均质球,半径为r0,初始温度分布为f (r),球表面温度保持为0,使它冷却。求温度分布.,解:球内,,一. 亥姆霍兹方程的引入,二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量,1. 径向坐标 r 和角向坐标 的分离变量,2. 角向坐标和 j 的分离变量,3. 的本征问题求解,4. 的本征问题求解,5. 总结:角向函数 的本征问题,6. 径向函数 的求解,7. 总结:球坐标系下Helmholhz方程的通解形式,9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量,9.3 勒让德多项式的母函数, 正交性和递推公式,一. 勒让德多项式的母函数(生成函数),二. 勒让德多项式的递推公式,三. 勒让德多项式的正交归一关系,四. 缔合勒让德函数,1. 缔合勒让德方程,2. 缔合勒让德函数的递推公式,3. 缔合勒让德函数的正交归一关系,4. 时的缔合勒让德函数,五. 球谐函数,本章考试范围:,体系具有旋转对称性时,m = 0,1. 熟悉Helmholhz方程在球坐标下的通解:, k = 0 时, Helmholhz方程即为Laplace方程, k 0 时 (不要求能解具体问题),m = 0时,3. 熟悉缔合勒让德函数、球谐函数正交归一关系。,附注:Laplace方程在平面极坐标系的

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