[理学]第二章 极限与连续.ppt

第二章 极限与连续,本章主要向大家介绍以下几方面内容：,一、数列的极限,三、变量的极限,五、极限的运算法则,六、两个重要极限,七、函数的连续性,二、函数的极限,四、无穷大量和无穷小量,定义 设函数un=f(n),其中n为正整数,一、数列的极限,若数列 un 满足 un un+1 (n = 1, 2, ) 或 un un+1 (n = 1, 2, )，则分别称 un 为单调递增数列或单调递减数列，这两种数列统称为单调数列.,若存在一个常数 M 0 ，使得 | un | M (n = 1, 2, )恒成立,或存在两个数 M 和 m，使得 m un M (M 称为上界, m 称为下界)，则称数列 un 为有界数列，或称数列有界；,例如 un :,为单调递减数列;,为单调递增数列；,是有界数列， 但不是单调数列 .,又如,而,前面三个数列都有一种共同的现象，即当 n 无限变大时，它们都无限地接近于 1，这就是极限现象.,显然，数列 un 无限地接近于 1，可用数列 un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述 .,如果用符号 e 表示任意小的正数， 那么就可用 | un - 1 | e 表示 .,于是, 数列 un 的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有 | un - 1 | e .,一般地，当 n 无限变大时，数列 un 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下：,定义 如果当 n 无限变大时，数列 un 与 A 之差的绝对值小于任意小正数 e ，即 | un A| e ，,此时亦称数列收敛，记作,那么称当 n 趋向无穷大时，数列 un以 A 为极限， (或数列 un 趋向于 A ).,前面三个数列的极限可分别表示为,几点说明:,(1)在数列 un 趋向于 A 的过程中，它的变化较复杂.,还可举出其他变化的例子. 这种变化的多样性如不注意，易在概念上发生 错误.,(2)对于 n 无限变大这句话, 也可用一个式子来表示，,如果记 N 为一个充分大的正整数，那么当 n N 就表示了这个意思， N 表示了n 无限变大的程度，,恒有 | un A | e .,(3)数列极限的几何解释,存在一充分大正整数 N，当 n N 时，点 un 都落在点 A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)，,形象一点讲，数列 un 会密集在点 A 的周围.,A,A - e,A +e,uN+1,uN+2,如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列 un 趋向于 A 可解释为:,定理 1 若数列收敛，则数列有界 .,并非所有数列都是有极限的，,例如,当 n 时, 它们均不与一个常数 A 无限接近，所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为发散数列或称数列发散 .,返回本章目录,二、函数的极限,当 x 无限接近于 1 时，,显然，当 x 1 时,趋向于什么？,函数,一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下：,定义 如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有| f (x) - A| e (e 是任意小的正数)，,，则称当自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A ，记作,几点说明：,(1)与数列极限相似， f (x) 趋向于 A 的过程中，可以有大于 A 的，可以有小于 A 的，也可以有等于 A 的 .,(2),x 是不能等于 1 的，因为 x = 1 处函数没有定义 . 一般地，在自变量 xx0 过程中是不能等于 x0 的.,(3)自变量 x x0 也可以用不等式表示.,如果用 d 记作充分小的正数. 那么 x 无限接近 x0 ，可由 x0 的 d 空心邻域表示，即 0 | x - x 0| d . d 表示 x 与 x0 接近的程度.,这样 ，,就是指，当 0 | x - x 0| d 时恒有 | f (x) - A | e .,A - e f (x) A + e,(4) 几何解释 .,A,A+e,A-e,y = f (x),x0 - d,x0 + d,x0,不管它们之间的距离有多么小. 只要 x 进入 U(,是指：当 0 |x - x0| d 时， 恒有 | f (x) - A | e . 即,作两条直线 y = A - e 与 y = A + e .,d ) 内，曲线 y = f (x) 就会落在这两条直线之间.,左、右极限统称为函数 f ( x ) 的单侧极限.,有时我们仅需要考虑自变量 x 大于 x0 而趋向于 x0 (或 x 小于 x0 而趋向于 x0 )时，函数 f (x) 趋向于 A 的极限，,此时称 A 是函数 f (x) 的右极限(或左极限)，记作,即,显然 x x0 时， f ( x ) 的极限存在的充分必要条件是： f ( x ) 在 x0 处的左、右极限存在且相等 .,例 1 试求函数,解 (1)因为,函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，,所以当 x 0 时， f (x) 的极限不存在.,(2) 因为,函数 f (x) 在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，所以当 x 1 时， f (x) 的极限存在且,自变量 x 除了 xx0 的变化过程外，还有其他的变化过程，,也是指当 x N ( N 是充分大的正数 )时，恒有| f (x) - A | e (e 是任意小的正数).,当 x 无限变大时，函数 f (x) 趋向于A，,几何意义：作两条直线 y = A + e 和 y = A - e ，,A + e,A,A - e,N,不管它们之间的距离有多么小，当 x 变到充分大之后即 x N 时，曲线 y = f (x) 落在这两条直线之间.,前者是指当 -x 无限变大时， f ( x ) 趋向于 A ，,而后者是指,例如,例 2,解,例 3,解,解,例 4 设函数 求,例 2, 3 和 4 说明了下列几种重要现象：,(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如例 2) .,(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限， 但两者不等，,(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者相等 .,定理 2 若 x x0 (或 x )时，函数 f ( x )的极限存在, 则函数 f ( x ) 在 x0 的一个空心小邻域内(或 | x | 充分大范围内)有界.,返回本章目录,设变量在变化过程中无限地趋于一个常数 A，就称变量以 A 为极限，记作,三、变量的极限,如果变量 y 已给出为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面伴随着所研究的变量的自变量的变化过程.,返回本章目录,若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大.,当 x x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作,当 x 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作,四、无穷大量和无穷小量,若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为,有时，所研究的无穷大量具有确定的符号，,若函数 a = a (x) 在 x 的某种趋向下以零为极限，,则称函数 a = a (x) 为 x 的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.,例如，函数 a (x) = x - x0，,当 xx 0 时，a (x)0，,所以 a (x) = x - x 0 是当 x x0 时的无穷小量 .,它是当 x 时的无穷小量.,是当 x + 时的无穷小量.,定理 3 若函数 y = f( x ) 在 x x0 (或 x )时的极限为 A，则 f ( x ) = A a ( x )(简记 y = A a )，,定理 4 有限个无穷小(当 x x0 或 x 时)的代数和仍然是无穷小量 .,反之若,则 A 为 f(x) 的极限，,定理 5 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.,证 设函数 f (x) 有界.,| f (x) | M .,又 a (x) 是无穷小量，即 | a (x) | e (e 为任意小的正数)，则,| a (x) f (x) | = | a (x) | | f (x) | e M .,由于 e 是任意的小正数，因而 e M 也是可以任意小的正数, 故 a (x) f (x) 0 .,即存在一个正常数 M,使,推论 1 有限个无穷小量,推论 2 常数与无穷小量之积为无穷小量 .,定理 6,反之，,若,则,设,若,则,(自变量同一趋向下)之积为无穷小量 .,例 1,为有界函数，,证,无穷小量的比较,定义 设 ( x ) 和 b ( x ) 为( x x0 或 x ) 两个无穷小量.,若它们的比有非零极限，,若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量，,则称 (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小.,并记为 ( x ) b ( x )，( x x0 或 x ) .,即,例如，在 x 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量，,且,所以当 x 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量.,又如，因为在 x 0 时，,x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量.,所以，当 x 0 时，,x 与 sin x， x 与 tan x，,都是等价无穷小量，,x sin x，,x tan x，,ln(1 + x) x.,即,x 与 ln(1 + x ),并且,定义 设 ( x ) 和 b (x ) 为 x x0 (或 x ) 时的无穷小量，,则称当 x x0 (或 x )时， ( x ) 是 b ( x ) 的高阶无穷小量，,例如， x2, sin x 都是 x 0 时的无穷小量, 且,所以，当 x 0 时， x2 是 sin x 的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x).,或称 b ( x ) 是 ( x ) 的低阶无穷小量，记为 ( x ) = o (b ( x ) .,若它们的比的极限为零，即,定理 7 设 ( x ) 1( x )，b ( x ) b1( x )，,则,也存在(或无穷大量)，,并且,证 由定理条件可知,因此有,即可仿上面的证法 .,例 2,解 因为 x 0 时，,ln (1 + x) x，,ex - 1 x，,所以,例 3,解 因为 x 0 时，,tan 5x 5x，,所以,例 4,解,若直接用 x 代替 tanx 及 sinx，,因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx - sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx sinx 是错误的.,是错误的.,则,返回本章目录,五、极限的运算法则,定理 8 若函数 y = f (x) 与 y = g( x ) 在 x x0 (或 x )时都存在极限，,则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在 x x0 (或 x )时也存在极限，且,(1) 由定理 3 有,f ( x ) = A a ( x ) 和 g ( x ) = B + b ( x )，,其中 a ( x ) 和 b ( x ) 均为无穷小量.,于是,f ( x ) g ( x ) = ( A B ) a ( x ) b ( x ) ，,其中 A B 为常数 , a ( x ) b ( x ) 仍为无穷小量，,故由无穷小量的定理 3 可推得,lim f ( x ) g ( x ) = A B = lim f ( x ) lim g ( x ) .,证,(2) 因为,f ( x ) g ( x ) = A a ( x )B b ( x ),= AB Ab (x) Ba (x) a (x) b (x).,而由定理 5 的推论 1 和推论 2 可知 Ab (x), Ba(x)，a (x) b (x) 均为无穷小量，所以由定理 3 可知,商的极限运算法则的证明从略.,lim f ( x ) g ( x ) = AB = lim f ( x ) lim g ( x ).,推论 1 常数可以提到极限号前，,lim c f ( x ) = c lim f ( x ).,推论 2 若 lim f ( x ) = A，且 m 为正整数，,lim f ( x ) m = lim f ( x ) m = Am .,特殊地，有,则,即,解 运用定理 8 及其推论可得:,例 1,一般地，有,因此,即多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处的函数值.,解 由例 1 知道当 x 1 时所给函数的分子和分母的极限都存在，,且分母极限,例 2,所以,解 由于,例 3,即,因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，,当 x 1 时,为无穷大量，,解,例 4,有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，,这时不能直接应用商的极限运算法则.,例 5 若 an 0，bm 0，m、n 为正整数，试证,有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大. 这类极限称为 型的极限，,对于它们也不能直接应用商的运算法则.,证 当 x 时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.,若将原式变形为,解 由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为 “ - ” 型极限，不能直接应用定理 8 .,一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.,例 6,返回本章目录,六、两个重要极限,1.第一个重要极限,g( x ) f ( x ) h( x ) ，,且 lim g( x ) = lim h( x ) = A，,lim f ( x ) = A.,定理 9 若对于 x N ( , ) 或 | x | M (M 0) 时，,有,则,O,x,R,A,B,C,证 AOB 面积 扇形AOB 面积 AOC 面积, 即,例 1,因为,所以再次运用定理 9 即可得,这个结果可以作为公式使用,解,例 2 计算,解,例 3,这个结果可以作为公式使用,解 令 5x = u，当 x 0 时 u 0，,因此有,例 4,也可以按如下格式进行：,例 5,解,定理 10 设函数 u ( x )，v ( x ) 在 x0 的某个邻域内( 或 | x | M，M 0 时 )，,满足 u ( x ) v ( x ) 或 u ( x ) v ( x )( x0 可以除外)，,若 x x0 (或 x )时它们的极限都存在，,lim u ( x ) lim v ( x ),特殊地，,若在 x0 的某个领域内(或 | x | M, M 0 时)，f ( x ) 0(或 0)，,lim f ( x ) 0 (或 0).,则,则,2.第二个重要极限,定理 11 单调有界数列必有极限 .,证 因为由,例 6,由此可知，un+1 的前 n 项不小于 un 的相应项，,而且 un + 1 比 un 的展开式,所以 un+1 un. 因此un 是单调递增数列.,此外，由 un 的展开式可得,所以 un 是有界数列.,综上所述，un 是单调有界数列，因此极限存在.,我们还可以证明，,都有极限，且,人们记这个极限为数 e，于是有,数 e 是一个无理数，,它的近似值可由,展开式中取前若干项计算，,以 e 为底的指数函数 y = ex 的反函数 y = logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为 y = ln x.,它的前八位数是 e = 2.718 281 8 ,解 因为,所以，有,例 7,例 8,解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，,所以,方法二 掌握熟练后可不设新变量,例 9,解,则当 x 0 时，u e，,所以原式 = 1，即,例 10,解 令 u = ex - 1 ，则 x = ln(1 + u)，,当 x 0 时 u 0.,所以,例 11,解 因为,所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，,因此,例 12,解,返回本章目录,七、函数的连续性,定义 1 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 .,且,记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，,记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量.,那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为：,定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,如果,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.,若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：,则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.,由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,若函数 y = f (x) 在开区间 I 内的各点处均连续，,若函数 y = f (x) 在闭区间 a, b 上连续，则理解为除在 (a, b) 内连续外，,在左端点 a 为右连续，在右端点 b 为左连续.,定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：,它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值.,则称该函数在开区间 I 内连续.,例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .,证 任取 x0 (- , + )，则因, y = f (x0 + x) - f (x0) = sin(x0 + x) - sinx0,这表明 y = sin x 在 x0 处连续，,由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续 .,例 2,解 因为,所以 f (x) 在 x = 0 处连续.,例 3,证 因为,且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 .,连续函数的基本性质,性质 1 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续，,则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在该点亦均连续，,又若 g(x0) 0，,故由极限的运算法则可得,因此 f (x) g (x) 在 x0 处连续 .,证 我们仅证明 f (x) g (x) 的情形 .,因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续，,所以有,性质 3 若函数 y = f (x) 在某区间上单值、单调且连续，,即它们同为递增或同为递减.,则它的反函数 x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同，,性质 4 初等函数在其定义区间内是连续的.,性质 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u = (x) 在 x0 处连续，且 u0 = (x0) ，则复合函数 f (x) 在 x0 处连续 .,例 4,解 因为 arcsin(logax) 是初等函数，且 x = a 为它的定义区间内的一点，,所以有,例 5,应当先将该函数的分子有理化，,消去为零的因子 x，,再计算极限，,即,一般地，,解 这是一个 型的极限问题.,例 6,解,例 7,解,令 x a t ，由 x a，则 t 0.,闭区间上连续函数的性质,定理 12 若函数 y = f (x) 在闭区间a, b上连续,(2) 在 a, b 上至少存在一点 x2，,(1) 在 a, b 上至少存在一点 x1，,使得对于任何 x a, b，恒有 f (x1) f (x).,使得对于任何 x a, b，恒有 f (x2) f (x).,x1,x2,则,若函数在开区间内连续，,f (x1)， f (x2) 分别称为函数 y = f (x) 在区间 a, b 上的最大值和最小值，定理 12 又称最大值和最小值存在定理 .,如函数 y = x2 在区间 (0, 1) 内就无最大值和最小值 .,则它在该区间内未必能取得最大值和最小值，,则它在 a,b内取得介于其最小值和最大值之间的任何数.,定理 13 若 f (x) 在 a, b 上连续，,推论 若 f (x) 在 a, b 上连续，且 f (a) f (b) 0，,推论 若函数 y = f (x) 在闭区间上连续，则它在该区间上有界 .,a,b,y = f (x),则至少存在一个 c (a,b)，使得 f (c) = 0 .,c,例 8 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一