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,矩阵理论小结,第一节 矩阵及其运算,第二节 矩阵的初等变换,第二章 矩阵理论,第三节 逆矩阵,第四节 矩阵理论的应用,1理解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、对称阵等的性质。 2熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。 3了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。 4熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的标准形。,本章学习要求:,对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”(或“会”)三级来表述。,5理解矩阵的秩的概念,知道满秩矩阵的性 质,掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。 6理解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条 件,会用伴随矩阵求逆矩阵,掌握用初等变换求 逆矩阵的方法。 7了解矩阵的分块及其运算。,本章学习要求:,对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”(或“会”)三级来表述。,第二章 矩阵理论,由 m n 个数 aij ( i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 有序地排列成 m 行(横排) n 列( 竖排 ) 的数表,称为一个 m 行 n 列的矩阵,简记为 ( aij )m n , 通常用大写字母 A、B、C、表示. m 行 n 列的矩阵 A 也写成 Am n , 构成矩阵的每个数称为矩阵的元素,而 aij 表示矩阵 第 i 行第 j 列的元素.,1.矩阵及其运算,一、矩阵的概念,第二章 矩阵理论,有几种特殊的矩阵:,1) 只有一行的矩阵 ( a1, a2, , an ) 称为行矩阵 ;,2) 只有一列的矩阵,称为列矩阵 ;,3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 O, 若强调零矩阵是 m 行 n 列的,则记为 Om n .,注意:不同型的零矩阵是不相等的.,同型矩阵,矩阵相等,第二章 矩阵理论,二、矩阵的运算,1、矩阵的加法和减法,设有两个 m n 矩阵 A = ( aij )m n , B = ( bij )m n , 则矩阵,称为矩阵 A 与 B 的和,记为 C = A+B.,矩阵的加法满足下列运算规律:,( i ) 交换律: A + B = B + A ;,( ii ) 结合律:( A + B ) + C = A + ( B + C ) ;,( iii ) A + O = A .,第二章 矩阵理论,2、 数与矩阵的乘法,设 为常数, 矩阵 A = ( aij )m n , 则称矩阵 ( aij ) m n 为数 与矩阵A 的乘积,记为 A, 即,数与矩阵的乘法满足下列运算规律:,( i ) 结合律: ( ) A = ( A ) = ( A ) ;,( ii ) 分配律: ( A + B ) = A+ B ,( iii ) 1 A = A , ( 1 ) A = A .,( + ) A = A+ A ;,第二章 矩阵理论,3. 矩阵与矩阵的乘法,设矩阵 A = ( aik )m s , B = ( bkj )s n, 则定义 A 与 B 的乘积 C 为,C = A B,注意:只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,第二章 矩阵理论,矩阵乘法满足下列运算规律:,(1) 结合律:( A B ) C = A ( B C ) ;,(2) 分配律:A ( B + C ) = A B + A C ,,(B+C) A =B A+C A ;, ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) , 为常数.,第二章 矩阵理论,4、 矩阵的转置,将 m n 矩阵 A 的行和列互换而顺序不变,得到的 n m 矩阵称为 A 的转置矩阵,记作 AT 或 A.,矩阵的转置满足下列规律:,1) ( A T ) T = A ;,2) ( A + B ) T = A T + B T ;,3) ( A ) T = A T, 为常数;,4) ( A B ) T = B T AT.,第二章 矩阵理论,1 ) 单位矩阵,三、方阵,2 ) 对角矩阵,第二章 矩阵理论,3) 三角矩阵:分为上三角矩阵和下三角矩阵两种,上三角矩阵:,下三角矩阵:,4) 对称阵: A T = A,5) 反对称阵: AT = A,第二章 矩阵理论,方阵的运算,显然有 A k A l = A k + l ,( A k ) l = A k l ( 其中 k, l 均为正整数 ) .,设 A、B 均为 n 阶方阵,一般地,( A B ) k A k B k .,注意:,第二章 矩阵理论,对于一切的正整数 k,第二章 矩阵理论,方阵 A 构成的行列式记为 |A| 或 detA. 若 |A| 0, 则称 A 为非奇异(非退化)的;若 |A| = 0 , 则称 A 为奇异的.,由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明:,1) | A | = n | A | ;,2) | A B | = | A | | B | ;,3) | A m| = | A | m .,方阵的行列式,非奇异方阵的积仍是非奇异方阵.,非奇异方阵的转置矩阵也是非奇异方阵.,1)计算两个矩阵的加法时,要将两个矩阵进行相同的划分,以保证对应子块同型;,2)计算两个矩阵的乘法时,要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致,这样才能保证对应子块能相乘;,3)求矩阵转置时,要将子块当作元素将分块矩阵转置后,再将每个子块转置.,第二章 矩阵理论,四、矩阵的分块,注:设矩阵 A = ( aij ) mn 分块为,则,第二章 矩阵理论,若矩阵 A 经过某种分块后,能划分成如下形式:,其中 A , A2 , , Am 均为方阵,则称 A 为准对角矩阵,它有着与对角矩阵类似的性质. 如,第二章 矩阵理论,注意:,第二章 矩阵理论,对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的初等行变换:,1) 互换矩阵的两行 ( 记作 ri rj ) ;,2) 以数 0 乘以矩阵的某一行 ( 记作 ri ) ;,3) 将矩阵的某一行各元素乘以数 后加到另一行的对应元素上去 ( 记作 ri + rj ) .,将行换成列,则称为矩阵的初等列变换 ( 所用记号将 r 换成 c ) .,2.矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换,第二章 矩阵理论,二、初等矩阵,单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵共三种:,1) ri rj , 得,第二章 矩阵理论,2) ri ( 0 ) ,得,第二章 矩阵理论,3) ri + rj ,得,第二章 矩阵理论,设 A 是一个 m n 矩阵,则对 A 施行一次初等行变换相当于 A 左乘以一个相应的初等矩阵;对 A 施行一次列变换,相当于 A 右乘以一个相应的初等矩阵.,第二章 矩阵理论,三、矩阵的秩,A 的不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩,记为 R ( A ).,R ( A ) = k的充要条件是矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零,而所有 k+1 阶子式全为零。,初等变换不改变矩阵的秩.,若矩阵 B 是由矩阵 A 经过有限次的初等变换后所得,则称 A 与 B 等价.,方阵 A 非奇异的充要条件是 A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积.,若 A 为 n 阶非奇异矩阵,则只要对 A 施行初等行变换或 列变换,可将矩阵A化为单位阵.,秩的重要公式与结论,证,证,证,证,第二章 矩阵理论,用初等行变换求矩阵的秩的步骤:,右端矩阵称为阶梯形矩阵,有 r 行不全为零,则 A 的秩为 r .,第二章 矩阵理论,若对阶梯形矩阵再施行列变换,则可化为最简形式:,右端矩阵称为 A 的标准形,其左上角为一个 r 阶单位阵 ( r = R ( A ), 其余元素全为零.,第二章 矩阵理论,3.逆矩阵,一、逆矩阵的概念,设 A 是一个 n 阶方阵,如果存在 n 阶方阵 B , 使,A B = B A = E ,则称 B 为 A 的逆矩阵,此时也称 A 可逆.,若矩阵 A 是可逆的,则 A 的逆矩阵是唯一的.,第二章 矩阵理论,设 a11 a22 ann 0 , 则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵,若方阵 A1 , A2 , , Am 均可逆,则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵,第二章 矩阵理论,二、矩阵可逆的条件及求逆公式,设 n 阶方阵,Aij 为元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n ) ,称为矩阵 A 的伴随矩阵.,则矩阵,第二章 矩阵理论,且,其中 A* 为 A 的伴随矩阵.,方阵 A 可逆 | A | 0 ,设 A、B 均为 n 阶方阵,若 A B = E ( 或 B A = E ) , 则 B = A1 .,第二章 矩阵理论,第二章 矩阵理论,三、逆矩阵的性质,1) ( A1 ) 1 = A ;,2),3) ( A T )1 = ( A1 ) T ;,4) ( A B)1 = B 1 A1 ;,5),6) 若 A B = A C 且 A 可逆 B = C .,性质 4 还可推广到 m 个方阵的情形,即,特别: ( A m ) 1 = ( A1 ) m .,第二章 矩阵理论,矩阵性质的比较:,( A1 ) 1 = A ;,( A B)1 = B 1 A1 ;,( AT ) T = A ;,( A B)T = B T AT ;,( A T )1 = ( A1 ) T ;,第二章 矩阵理论,四、用初等变换求逆矩阵,求逆矩阵常用方法,1.定义,2.伴随矩阵法,3.初等变换法,4.利

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