[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质.ppt

复习,1、双边拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定。 2、单边拉普拉斯变换,52 拉普拉斯变换的性质,一线性,则,且有常数,实际上若是两函数之差,收敛域有可能扩大， 这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。,例5.2-1 求单边正弦函数 和单边余 弦函数 的象函数。,解：因为,同理因为,证明：,令,二尺度变换,得证。,若 且 为实常数则,证明:,三时移（延时）特性,如函数 ，显然 与 不同，其象函数也不相同。,这里注意一下延时信号是指因果信号 延时 后的信号 ,并非 。,又如:,由于许多信号常常是由某些基本函数经适当平移后叠加构成的,因此可以运用时间平移特性与常见信号的拉氏变换求取这些信号的拉氏变换.,补充例题:求图示锯齿波的拉普拉斯变换.,时间平移特性还可以用来求取有始周期函数的拉氏变换。,设 为有始周期信号，其周期为T；而 表示第一周期的函数，则 可写成：,利用时移特性可以求有始周期信号的拉氏变换:等于第一周 期单个函数的拉氏变换乘以周期因子 .,例5.2-2 求矩形脉冲,的象函数。,解:,例5.2-3 求在 时接入的周期性单位冲激函 数序列 的象函数。,解:,这是等比级数。当 时 该级 数收敛，所以,这里象函数的收敛域比任何一个冲激函数的收 敛域都小,而线性性质的收敛域只适用于有限 个函数求和的形式。,四复频域 ( 域平移)特性,若 且有复常数 ，则,证明:,例5.2-4 求衰减的正弦函数 及 衰减的余弦函数 的象函数.,解：,同理,例5.2-5 已知因果信号 的象函数,求 的象函数。,解:,微分定理: 若,则,五时域微分特性(定理）,主要用于求解具有初始条件的微分方程。,收敛域至少是,证明:,其他结论可由此推得。,如,如果 是因果信号，则由于 微分特性具有更简洁的特性：,例5.2-6 若已知 的象函数 为 ，求 的象函数。,解法一：,例5.2-6 若已知 的象函数 为 ，求 的象函数。,解法二：,六时域积分定理,其收敛域至少是 和 相重叠的 部分。,若,则,若,则,证明：设n=1,若 是因果函数，则,证明：,这里,时域积分特性也应用于求某些函数的拉普拉斯变换:先求导,再积分。,下面我们来看一下微分及积分定理的应用：,图5.2-1 微分与积分特性的应用,(1),由图可见,结论：两个函数只要t0-是相同，其拉氏变换就相同。,这是由于,可见,和 的一阶导数的拉氏变换相同， 那么， 和 的拉氏 变换是否相同？,例5.2-7 求三角脉冲,的象函数。,解：,令 则,例5.2-8 已知 ，利用阶跃函数的积分 求 的象函数。,解： 由于,利用积分特性及 得,七卷积定理,时域卷积定理：,若因果信号：,则,收敛域至少是二者公共部分。,复频域卷积定理：,积分路线 是 和 收敛域重叠 部分内与虚轴平行的直线。它由于计算较繁， 很少应用。,例5.2-9 如图所示为 接入的周期性矩形 脉冲列 ，求其象函数。,解：设,若 ，则方波信号,对称方波,例5.2-10 已知某LTI系统的冲激响应 ， 求输入 时的零状态响应 。,解：,八S域微分和积分,若,则,证明：,上式对S求导，并交换微分，积分顺序得:,仍为指数阶的 ， 收敛域仍为,得证。,显然，这里的 应存在拉氏变换，在有 限区间可积，且是指数阶的。,例5.2-11求 的象函数。,解：法一：设,法二：令,由移位特性,例5.2-11求 的象函数。,例2求 的象函数。,解：,由S域积分特性可得,九初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用来由 直接求 而不必求出 。,初值定理:设函数 不包含 及其各阶导数,且,则有,若函数 包含 及其各阶导数,则,证明：,对上式取 的极限,同理，可推得,注意： 收敛域应包括原点 点，否则不能应用该终值定理。,而 的极点要限制在左半平面内或是原点处的单极点。,例 5.2-13,解 由于cos t(t) ，根据复频移性质，