浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.8函数与方程讲义（含解析）.docx

3.8函数与方程最新考纲考情考向分析了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()题组二教材改编2P92A组T5函数f(x)lnx的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)答案B解析f(2)ln210且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内3P88例1函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3答案B解析由f(x)ex30，得f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点4P92A组T4函数f(x)x的零点个数为_答案1解析作函数y和yx的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点题组三易错自纠5函数f(x)ln2x3lnx2的零点是()A(e,0)或(e2,0) B(1,0)或(e2,0)C(e2,0) De或e2答案D解析f(x)ln2x3lnx2(lnx1)(lnx2)，由f(x)0得xe或xe2，f(x)的零点是e或e2.6已知函数f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xlnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则()Ax1x2x3Bx2x1x3Cx2x3x1Dx3x10)，yex，ylnx(x0)的图象，如图所示，可知选C.7若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是_答案(8,1解析mx22x在(0,4)上有解，又x22x(x1)21，yx22x在(0,4)上的值域为(8,1，8m1.题型一函数零点所在区间的判定1(2018绍兴调研)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln11210，f(1)f(2)0，函数f(x)lnxx2在(0，)上的图象是连续的，且为增函数，f(x)的零点所在的区间是(1,2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)答案A解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3设函数y1x3与y2x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1,2)解析令f(x)x3x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)0，x0所在的区间是(1,2)思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理(2)数形结合法题型二函数零点个数的判断例1 (1)函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2018杭州质检)设方程xln(ax)(a0，e为自然对数的底数)，则()A当a0时，方程没有实数根B当0ae时，方程有两个实数根答案D解析由xln(ax)得exax，则函数yex，yax图象的交点个数是原方程根的个数当a0时，在第二象限有一个根，A错误；设过原点的直线与yex相切的切点坐标为(x0，)，则，x01，则切线斜率为e，所以当0ae时，方程有两个实数根，D正确，故选D.思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练1 (1)函数f(x)的零点个数为()A3B2C7D0答案B解析方法一由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点方法二函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点(2)函数f(x)则函数h(x)f(x)log4x的零点个数为()A2B3C4D5答案D解析函数h(x)f(x)log4x的零点个数即为方程f(x)log4x的根的个数，分别画出y1f(x)，y2log4x的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h(x)有5个零点题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例2(1)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出函数f(x)的图象，如图所示由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得0m1，即m(0,1)(2)(2018浙江杭州地区四校联考)已知函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则实数m的取值范围是()A.B.(1,3)C.1,2)(2,3)D.(2,3)答案C解析函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，等价于函数f1(x)|2x1|m(x2)的图象与x轴有两个交点且f2(x)(x3m)(x2m2)(x2)的图象与x轴有一个交点，或函数f1(x)|2x1|m(x2)的图象与x轴有一个交点且f2(x)(x3m)(x2m2)(x2)的图象与x轴有两个交点由函数f1(x)|2x1|m(x2)的图象与x轴有两个交点得0m2m2或2m223m，可得m2或0m.所以m的取值范围为.由函数f1(x)|2x1|m(x2)的图象与x轴有一个交点得m0或1m3，由f2(x)(x3m)(x2m2)(x2)的图象与x轴有两个交点得解得m且m2.所以m的取值范围为m|1m3，m2综上所述，实数m的取值范围为.命题点2根据函数零点的范围求参数例3若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图象(图略)分析可知，m需满足即解得m.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练2(1)(2018宁波模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)答案C解析由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0a3，故选C.(2)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个零点，则实数m的取值范围是_答案解析令g(x)f(x)m0，得f(x)m，则函数g(x)f(x)m有三个零点等价于函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x0时，f(x)x2x2，若函数f(x)的图象与ym的图象有三个不同的交点，则0且a1)的两个零点是m，n，则()Amn1Bmn1C0mn1，mn，画出函数y|logax|，yx的图象如图所示，结合图象可知0m1，且logamm，logann，以上两式两边相减可得loga(mn)nm0，所以0mn0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.(4)(2018浙江)已知R，函数f(x)当2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_答案(1,4)(1,3(4，)解析当2时，f(x)其图象如图(1)由图知f(x)0的解集为(1,4)f(x)恰有2个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函数与一次函数各有一个零点在同一平面直角坐标系中画出y1x4与y2x24x3的图象，如图(2)，平移直线x，可得(1,3(4，)1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)答案C解析因为f(x)在区间(0，)上单调递减，f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选D.5(2018温州十校联合体期末)已知关于x的方程a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是()A(，0) B(0,1)C(1，) D(0，)答案C解析方程a|x|有三个不同的实数解等价于函数y与ya|x|的图象有三个不同的交点在同一直角坐标系中作出函数y与ya|x|的图象，如图所示，由图易知，a0.当2x0时，由f(x)lnx0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是00时，f(x)2015xlog2015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x0时，f(x)2015xlog2015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.11已知函数f(x)x，g(x)x，记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为_答案5解析由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线yx对称，函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，所以5，所以x1x25.12已知函数f(x)4.(1)若m4，求函数f(x)的零点个数；(2)若函数f(x)有4个零点，求实数m的取值范围解(1)当m4时，f(x)4，由对勾函数的性质易得y4，当且仅当x2时，等号成立，所以函数f(x)4的零点个数为2.(2)当m0时，由对勾函数的性质易得y2，当且仅当x时，等号成立，要使f(x)4有4个零点，则有24，解得0m4；当m0时，f(x)|x|4，易知此时函数f(x)|x|4有2个零点，不符合题意；当m0时，函数y0，当且仅当x时，等号成立，所以此时函数f(x)4有4个零点，综上所述，实数m的取值范围为(，0)(0,4)13(2018宁波镇海中学模拟)已知函数f(x)则f_，若f(x)ax1有三个零点，则a的取值范围是_答案(4，)解析flog2，所以ff23.x0显然不是函数f(x)ax1的零点，则当x0时，由f(x)ax1有三个零点知a有三个根，即函数y与函数ya的图象交点有三个，如图所示，则由图可知当x0时，函数ya与函数yx有两个交点，则存在x使ax成立，即ax24，当且仅当x2时，等号成立，即a4.14(2018湖州德清县、长兴县、安吉县期中)偶函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且在x0,1时，f(x)，若直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，求k的取值范围解因为直线kxyk0(k0)，即k(x1)y0(k0)过定点(1,0)因为函数f(x)满足f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线k(x1)y0(k0)如图所示，则由图易得AB，AC，tanBAx，tanCAx，则要使直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是.15(2018湖州、衢州、丽水三地市质检)已知f(x)是定义在R上的函数，若方程f(f(x)x有且仅有一个实数根，则f(x)的解析式可能是()Af(x)|2x1|Bf(x)exCf(x)x2x1Df(x)sinx答案D解析对于A，由f(f(x)x，即|2|2x1|1|x，可得x1或或或，故A错误；对于B，由(exx)ex1，得yexx在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以(exx)min10，即exx恒成立，所以f(f(x)exx，即f(f(x)x无解，故B错误；对于C，f(x)x2x1，f(f(x)(x2x1)2x2x11x，即(x2x1)2x220，无实数根，故C错误