[理学]第八章二重积分.ppt

1,第七章：二重积分,一、基本概念及结论,1.二重积分的概念,（1）曲顶柱体的体积,曲顶柱体是指它的底面是在 平面上的有界闭区域 ，它的侧面是以 的边界为准线，母线平行于 轴的柱面，它的顶是连续曲面,2,3,（3）.二重积分的定义,4,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,5,6,（4）二重积分的几何意义,1)、若 ， 表示以区域 为底的曲顶柱体的体积。 2)、若 ， 表示以区域 为底的曲顶柱体的体积的相反数。 3)、若 在区域 上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。,（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）。,7,2.二重积分的性质（与定积分对照）,8,(5)比较定理：,(6)估值定理：,(9)被积函数的奇偶性与积分区域的对称性,9,1,2,若D对称于x 轴，关于变量y被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于y0 的区域上的积分；,若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x0 的区域上的积分；,3,10,0,1,1,-1,2,2,-2,x,y,x,y,-2,2,1,-1,11,二、二重积分的计算,步骤：,(1)画积分区域的草图，求交点坐标；,（2）根据被积函数及积分区域D的形状选择积 分次序:,如积分区域为：,a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、,.一般二重积分的计算,直角坐标系下：,12,13,a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、,14,都是 的不可积函数.,(3)积分限的确定,15,1,若先对y后对x积分，则y的积分限可这样 确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过 区域，穿进的边界曲线 为 下限，穿出的边界曲线 为 上限，后对x积分其积分限是常量（由交点 向x轴作垂线的垂足耒确定）,16,2,若先对x后对y积分，则x的积分限可这样 确定：用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过 区域，穿进的边界曲线 为 下限，穿出的边界曲线 为 上限，后对y积分其积分限是常量（由交点 向y轴作垂线的垂足耒确定）,17,(4)更换积分次序的方法：,1,2,由所给的累次积分上下限列出关于x,y的联立不 等式;,根据联立不等式画出D的草图（先将不等号换成 等号画出边界曲线，再用“以点示面”的方法确定 积分区域）；,3,根据积分区域D写出新的积分限。,例如：改变下面二重积分的次序,18,极坐标系下,令,分析：由累次积分限画出积分区域草图,于是,19,步骤：,（1）画出积分区域D的草图，将D的边界曲线 的直角坐标方程化极坐标方程;,（2）将二重积分化为极坐标系下的二重积分,(3)将极坐标系下的二重积分一般化为先对 r 后 对 的二次积分；,（4）积分限的确定：,先对r积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲 线的极坐标方程 是下限，穿出的 是上限；后对 积分其积分限是常量,由过极点的射,20,线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过 整个区域）。,注1：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区 域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表 示又比较简单，被积函数常为 等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积 分耒计算。,21,注2：几种常见曲线的极坐标方程,.,-1,1,0,r,a,2a,0,0,.a,2a,x,y,Y=x,0,r,r,22,解:先对y后对x积分,23,先对x后对y:,24,例2,解：,25,解： （如图）,例,26,0,D,-2,2,分析：注意到被积函数只与y有关,解1：在直角坐标系下，先x对后对y积分,27,解2.化为矩形域上的二重积分减去半圆上的二重积分,28,29,30,31,32,例9 计算 ，,解：画图,33,例10 计算 ， 是由圆周 ， 及直线 所围第一象限部分,解：画图,3,34,.被积函数带绝对值符号的二重积分,35,36,37,38,39,.由累次积分表示的二重积分的计算,对此类二重积分的计算，往往要通过更换积分次序， 或改变坐标系或交换上、下限再积分,40,41,42,43,44,45,46,解：,积分区域如图,原式,47,则,例7 计算 ，,解：画图,48,三、课后练习,49,50,9.求,提示：,51,10.,公共部分构成.,提示：化为极坐标系下二次积分,52,提示：改变积分次序，先作区域D的草图.D由曲线,围成.,53,解：积分区域D如图,14.（10分）计算二重积分,54,解：积分区域D如图所示：,其中D是由圆心在点 ，半径为 且与坐标轴相切,的圆周的较短弧和坐标轴所围成的区域.,圆的方程为,55,56,其中D：,解：积分区域D如图，化为极坐标系的二重积分.,16