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第十章 力学量本征值的代数解法,教学内容,第1页,1 谐振子的Schrdinger因式分解法 2 角动量的本征值和本征态 3 两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数,1 谐振子的Schrdinger因式分解法,一维谐振子Hamilton量为,第2页,x, p 为粒子的坐标和动量算符,满足 x, p = i.,设H的本征值为En, 归一化的本征态为|n,n=0表示基态。 |n就是能量表象下的基矢,满足正交归一化条件,,及本征方程,引入无量纲算符,引入两个新的算符,第3页,H可以表示成,不难验证,如果 a|n 不为0,它是H的本征态,本征值为En-, 重复此过程,可知 En,En-, En-2都是能量本征值。,H是正定的,可以证明,任何态下,a+a的平均值,第4页,能量本征值序列必须终止于基态能量E0, 即E0-不再是能量本征值,条件为,E0=1/2,a+|n也是能量本征态,本征值为En+. 重复以上过程,可知En, En+, En+2, 都是能量本征值。,从|0态出发,则有H的本征态 |0, a+ |0, a+2 |0, 本征值 1/2, 3/2, 5/2 即能级分布是均匀的,相邻能级间距为.,第5页,作用于|n,可得,a+a成为量子数算符,记为N. a 和 a+ 对能量本征态|n作用后使降 或升, 即量子数n降1或升1,分别称为降算符和升算符。,由此可知,在能量表象中, a, a+,不为0的矩阵元为,,第6页,亦即,算符Q和P表示为,第7页,x和p可以表示成,x和p的矩阵元为,第8页,|n可用基态表示,坐标表象的波函数,对于基态,第9页,用x|左乘上式,并插入单位算符,a在x表象中的表示为,解之, 得,第10页,归一化后,激发态|n的波函数,例:求降算符a的本征态,将其表示成各种能量本征态|n的叠加。,第11页,解:设a的本征态为|,本征值为。令,带入本征方程,,比较|n-1项的系数,有,依次递推,可得,得到归一化的本征态,,第12页,上式称为谐振子的相干态。a不为厄米算符,其本征值可取复数。,2 角动量的本征值和本征态,前面介绍了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量。本节将对角动量的本征值和本征态进行一般讨论。,第13页,假设算符 jx, jy, jz, 满足下列对易式,,则以jx, jy, jz, 作为分量的矢量算符j, 称为角动量算符。定义,不难证明,可以证明,第14页,由于j2和jz对易,可以求它们的共同本征态,记为|,m,(a) 根据,取矩阵元,只当,= 时,,才可能不为0.,j-, jx, jy, jz 也有类似的公式,(b) 根据,第15页,两边取矩阵元,当m=m1,矩阵元才有可能不为0. 所以,这说明j使磁量子数增1或减1,称为升算符和降算符。由于jx, jy, jz, j对于是对角化的,下面暂时略去。,(c) 根据,第16页,两边取矩阵元,根据j矩阵元的选择定则,再利用 ,可知,令,这个代数方程的解可表为,第17页,C是与m无关的实数。由于|m|2=0, 所以m(m+1)C。这表明,量子数m的取值受到一定限制,即m有一个上界,和一个下界。,类似有,因而有,由于两个相邻的m值相差1,所以m的任何两个值相差必为整数,因此,第18页,而,(d) 求(j2, jz)的本征值,第19页,根据,取平均值,j2的本征值为j(j+1)2, j取正整数或半奇数。,把角动量本征方程的普遍结果总结如下(把|m记为|jm),第20页,(e) 矩阵元公式,在(j2, jz)表象中,j2和jz是对角矩阵,j+的矩阵元为,第21页,取=0,,3 两个角动量的耦合,Clebsch-Gordan系数,实际问题中经常要考虑一个量子体系中包括两个子系统的角动量或同一体系的两种自由度的角动量耦合,即考虑这些角动量相 应磁矩的相互作用。,第22页,总角动量算符及对易关系,设j1和j2是体系的两个角动量 算符,它们彼此是相互独立的,各分量均可对易,总角动量算符的定义是,容易证明,总角动量 j 也满足角动量算符的对易关系,第23页,总角动量平方算符,可以证明,但是, j2含有,利用这些对易关系可以得到描述体系角动量状态的力学量的完全集。一般地,当体系只有一个角动量时,描述体系角动量状态需要两个力学量组成力学量完全集。若系统有两个子系,各有一个角动量,则系统总角动量状态将涉及四个自由度,要由4个力学量组成力学量完全集。一般可有两种选取方法。,无耦合表象和耦合表象,若选择j12, j1z, j22, j2z构成力学量完全集, 以|j1, m1表示 j12, j1z, 的共同本征态,以|j2, m2表示 j22, j2z, 的共同本征态, 而将j12, j1z, j22, j2z的共同本征态记为,第24页,相应的本征值方程为:,给定j1, j2, m1有2j1+1个取值,m2有2j2+1个取值,因此|j1, m1, j2, m2有(2j1+1)(2j2+1) 个分量。以正交归一完备系|j1, m1, j2, m2为基矢的表象称为无耦合表象。,若选择相互对易的j12, j22, j2, jz为对易力学量完全集,它们共同本征矢记为|j1, j2, j, m,相应的本征方程为,第25页,以正交归一完备系|j1, j2, j, m为基矢的表象称为耦合表象。该表象当中, j12, j22, j2, jz均为对角矩阵。,以上两套完备基矢可用来描述同一体系,且每套基矢个数(空间维数)相等,皆为(2j1+1)(2j2+1)维。实际上,当考虑体系两个子系统间相互作用时(如考虑自旋-轨道耦合),则要选取耦合表象;当忽略两子系统相互作用时,则要选非耦合表象。,耦合表象基矢按无耦合表象基矢系展开,按照表象理论,这两个均由正交归一的完备基矢构成的表象之间可以通过一个幺正变换相联系。,第26页,在 |j1, j2, j, m 前插入完备性关系,考虑到|j1, j2, j, m 中j1, j2已给定,因此不必对j1, j2求和,,就是C-G(Clebsch-Gordan)系数, 是耦合表象的基矢和非耦合表象的基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元。,C-G系数的重要性质及求法,C-G系数不为零的条件 a. 第一个条件是 m=m1+m2, 利用 jz (j1z + j2z) = 0, 作用于|j1, j2, j, m ,然后以j1, m1, j2, m2|左乘,即有,第27页,故系数不为0 的条件为,既然m1=m-m2, 故,b. 第二个条件是,第28页,m, m1, m2的最大值依次是j, j1, j2, 而且m=m1+m2, 故 j 的最大值为j1+j2.,线性独立的| j1, m1, j2, m2 的数目 当j1, j2给定时,共有(2j1+1)(2j2+1)个线性独立的态矢,即无耦合表象基矢所张开的希尔伯特空间为(2j1+1)(2j2+1)维。 |j1, j2, j, m是各种|j1, m1, j2, m2的线性叠加, j1, j2给定时相互独立的|j1, j2, j, m也是(2j1+1)(2j2+1)维。 对于一个j值,m有(2j+1)个取值。因此,从维数不变的要求,有,总结: j的取值范围如下 j = j1 + j2, j1 + j2 -1, , |j1 j2| 此结果可以概括为三角形法则(三角形的任何一边之长不大于另外两边之和,不小于另外两边之差)。 CG系数有下列两个基本性质: (a) 仅当 m = m1 + m2时, 才能不等于0; (b) 仅当|j1-j2|才能不等于0。,第29页,C-G系数的应用很广,但确定一般的C-G系数的普遍方法是非常复杂的工作。目前已经列为应用表可在专门的工具书中查用。下面介绍一种求解方法,它在很多场合,特别是给定的j1,j2很小的时候很适用。,第30页,j1,j2给定,耦合表象基矢可简写为:,首先取j=j1+j2, m=j1+j2, 由于m=m1+m2, 故当m=j1+j2时, m1=j1, m2=j2, 因此|j1+j2, j1+j2只对应无耦合表象中的一个态|j1, j1, j2, j2, 即,用j1, j1, j2, j2|左乘上式,即得与m=j1+j2,有关的CG系数,,其次,取j=j1+j2, m=j1+j2-

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