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2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.2.2 双曲线的几何性质对点训练 理1已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2C. D.答案D解析设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选D.2.若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3答案B解析解法一：依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|639，故选B.解法二：根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|3|6，所以|PF2|9或|PF2|3(舍去)，故选B.3将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2答案D解析依题意，e1，e2.因为，由于m0，a0，b0，且ab，所以当ab时，01,01，22，所以e1e2；当a1，1，而，所以22，所以e1e2.所以当ab时，e1e2；当ae2，故选D.4过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2C6 D4答案D解析由双曲线的标准方程x21得，右焦点F(2,0)，两条渐近线方程为yx，直线AB：x2，所以不妨取A(2，2)，B(2，2)，则|AB|4，选D.5.已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3C.m D3m答案A解析由题意，可得双曲线C为1，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y x，即xy0.所以由点到直线的距离公式得d.故选A.6若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等答案A解析因为0kb0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0答案A解析由题意，知椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率为e2.因为e1e2，所以，即，整理可得ab.又双曲线C2的渐近线方程为bxay0，所以bxby0，即xy0.8.设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D3答案B解析根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，可得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2.而由已知可得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|29b2，两式作差可得4|PF1|PF2|4a29b2.又|PF1|PF2|ab，所以有4a29ab9b20，即(4a3b)(a3b)0，得4a3b，平方得16a29b2，即16a29(c2a2)，即25a29c2，所以e，故选B.9点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长之比为345.则双曲线的渐近线方程是()Ay2x By4xCy2x Dy2x答案D解析设F1PF2的三条边长为|PF1|3m，|PF2|4m，|F1F2|5m，m0，则2a|PF2|PF1|m,2c|F1F2|5m，所以bm，所以2，所以双曲线的渐近线方程是y2x.10设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线于A、B、C、D四点，则|F1A|F1B|F1C|F1D|()A4 B2C. D.答案A解析依题意，设题中的双曲线方程是x2y21，不妨设点A、B、C、D依次位于第一、二、三、四象限，则有，由此解得|AF1|1，|AF2|1，同理|DF1|AF1|1，|CF1|BF1|AF2|1，|AF1|BF1|CF1|DF1|4，选A.11已知点P是双曲线1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则双曲线的离心率为()A4 B.C2 D.答案C解析设c，PF1F2的内切圆的半径为r，则|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，SIPF1|PF1|r，SIPF2|PF2|r，SIF1F2|F1F2|r.由SIPF1SIPF2SIF1F2，得(|PF1|PF2|)r|F1F2|r，c2a.双曲线的离心率为e2.12设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_答案解析由已知不妨设F(c,0)，虚轴的一个端点为B(0，b)，B恰为线段PF的中点，故P(c,2b)，代入双曲线方程，由1得5，即e25，又e1，故e.13已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.答案解析因为双曲线y21(a0)的一条渐近线为yx，即yx，所以，故a.14设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案解析由得A，由得B，则线段AB的中点为M.由题意得PMAB，kPM3，得a24b24c24a2，故e2，e.15设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_答案解析不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a，因为|PF1|PF2|，所以PF1F2为最小内角，因此PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos30，即4a216a24c28ac，所以c22ac3a2