[经济学]第12讲求导法则.ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十三讲 求导法则,一.基本初等函数的导数,推导一些基本公式啊 ！,1. y = C x R ( C为常数 ),Q,通常说成：常数的导数为零.,2. 幂函数,自变量对其本身的导数为 1,3. 指数函数,4. 对数函数,求y .,故,或重要极限,5. 三角函数,(1),和差化积,等价无穷小,(2) 其它三角函数的导数,这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.,（仿照正弦函数的推导方法）,问题：如何求其他函数的导数？,其他导数公式,导数运算法则,基本初等函数,初等函数,四则,复合,反函数,隐函数,参数式,导数的四则运算法则,若函 u(x)数, v(x) 均可导, 则,推广至有限个可导函数的情形:,代数和函数的导数,在点,处可导，a，b为常数，,在点,处也可导，,（可推广到有限个代数和）,定理3.2：,设函数,则线性函数,且有,证：,解,解,由和的求导公式,乘积函数的导数,在点,处可导，,在点,处也可导，,定理3.3：,设函数,则函数,且有,证,设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则,通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面,设,直线上任意一点处的切线就是它本身.,线性函数的导数为一个常数.,解,已知,解,商的函数的导数,在点,处可导，,在点,处也可导，,定理3.4：,设函数,则函数,且有,故,用乘法公式证明除法公式,解,设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明,令 u(x) =1,证,由商的导数公式, 得,解,解:,点 (x, y) 处的切线相同.,y,T,A(x,y),x,x,O,y,若 y = (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 则 x = f (y),与 y = (x) 的图形相同, 故x = f (y) 与y = (x) 在, 是 y = (x)的图形与x 轴正向的夹角., 是 x = f (y)的图形与x 轴正向的夹角.,三.反函数的导数,反函数的导数是其直接函数导数的倒数.,定理3.5,设单调函数 x = (y) 在区间 I 内可导,(x) 0 ,某区间 J 内单调、可导, 且,该定理说明：一个函数单调、连续、可导, 则它的反函数存在, 且单调、连续、可导.,则它的反函数 y = f (x) 在相应的,这里仍指严格单调,它是 x = sin y,且导数不为0,上单调、连续、可导,又,故,解,你觉得做完了吗？,而,于是,它是 x = cos y ,解,故,又,故,解,类似可得,四.复合函数的导数,且,或,定理3.6,设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应,点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x),在U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在相应点 u 处可导,( 当 u 0, 0 ),以 x 除上式, 得,证,给 x 以增量 x, 相应地 u = (x) 有增量 u,对于u, y = f (u) 有增量 y.,对上式两边取 x 0 的极限,由 u = (x) 在点 x 处可导, 得,即,或,例如,则在各函数可导且 f (h(x) 在 U(x) 有定义时,或,该定理可推广到任意有限次复合的情形.,有,解,一般按 “由外向里层层求导” 法求导,解,证,综上所述,解,解,解,解,按复合函数求导法则,解,注意利用函数 的性质,解,设 y = f (x) 可导, 则,证明：在(a, a)内可导的奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。,设f (x) 为( a, a) 内的偶函数, 则f (x) = f (x).,即偶函数的导数是奇函数.,同理可证, 奇函数的导数是偶函数.,证,隐函数的求导法则,F ( x, f (x) ) 0,对上式两边关于 x 求导：,然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.,方法：,则将 y = f (x) 代入方程中, 得到,如果由方程F(x, y) = 0 确定隐函数y = f (x) 可导,求由方程,( x 0 ),所确定的隐函数的导数 y, 并求,方程两边关于 x 求导：,故,由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0,从而,解,故,求椭圆,对方程两边关于 x 求导得：,故所求切线的方程为：,解,整理后, 切线方程为：,选择一个适当的参数 t 后,的形式, 此式称为函数y = f (x) 的参数方程.,y = f (x) 可表示为,1. 参数方程的概念,六.参数方程求导法则,参数方程求导法则：,设,利用反函数求导法则可证明该法则,由微分形式不变性更是一目了然,椭圆上任意一点x处的切线的斜率为,故,从而, 所求切线方程为： y = b .,解,又,星形线是一种圆内摆线,解,然后, 对方程两边关于 x 求导：,方法:,在条件允许的情况下, 对y = f (x) 两边,同时取对数：,注意：y 是 x 的函数.,七.取对数求导法,取对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数.,运用取对数求导法,两边关于 x 求导：,故,解,运用取对数求导法,两边关于 x