2019年高考数学三轮冲刺专题15椭圆、双曲线、抛物线专项讲解与训练.docx

专题15椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(02ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形 (1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A.1By21C.1 D.1(2)(2019沈阳质量检测(一)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a()A3 B4C5 D6(3)(2017高考全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由椭圆的定义知AF1B的周长为4a4，所以a.由e，得c1，所以b2a2c22.所以椭圆C的方程为1.故选A.(2)如图，设MN的中点为P.因为F1为MA的中点，F2为MB的中点，所以|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，所以|PF1|PF2|62a，所以a3.故选A.若已知条件涉及圆锥曲线上的点与焦点的连线段长度问题，首先考虑用定义求解，这样会使问题简捷、快速得到解答 【对点训练】1已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. BC. D.【答案】D.【解析】法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.2已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_答案：6解析：法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e .2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系 (1)设A、B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0，19，)B(0，9，)C(0，14，) D(0，4，)(2)(2019湖南五市十校联考)已知F1，F2分别是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A. B2C1 D2【答案】(1)A(2)C【解析】(1)依题意得，或，所以或，解得01，所以e1，故选C.圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等注求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到 故所求的抛物线方程为y24x或y236x.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 【对点训练】(2019太原二模)如图，曲线C由左半椭圆M：1(ab0，x0)和圆N：(x2)2y25在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q(均异于点A，B)分别是M，N上的动点(1)若|PQ|的最大值为4，求半椭圆M的方程；(2)若直线PQ过点A，且0，求半椭圆M的离心率【解析】：(1)令x0，由(x2)2y25得y1，所以A(0，1)，B(0，1)，所以b1.由题意可知当P，Q均在x轴上时，|PQ|取得最大值，所以a24，所以a2.所以半椭圆M的方程为y21(x0)(2)由(1)得A(0，1)，B(0，1)，由题意知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykx1.设P(x1，y1)，由，得(1a2k2)x22a2kx0，所以x1. 设Q(x2，y2)，由，得(1k2)x22(k2)x0，所以x2.因为0，所以x1x2.因为，所以0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)x40，将x2代入上式，得k，所以x1，x2，所以，所以a2，c2，所以e.课时作业 基础达标1若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，) D(1，2)【答案】C.【解析】依题意得，双曲线的离心率e，因为a1，所以e(1，)，选C.2(2019.东北四市联考)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 BC. D.【答案】D.【解析】由题意知x2y，则F(0，)，设P(x0，2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.3(2019惠州第三次调研)双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx【答案】A.4(2019湖北七市(州)联考)双曲线1(a，b0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|2，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21Cx21 D.y21【答案】B.【解析】因为F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，所以|PF1|PQ|，而|PF1|PF2|2a，所以|PQ|PF2|2a，即|F2Q|22a，解得a1.又ecb2c2a22，所以双曲线的方程为x21.故选B.5(2018成都第二次诊断性检测)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. BC. D.【答案】D.【解析】如图，在圆O中，F1F2为直径，P是圆O上一点，所以PF1PF2，设以OF1为直径的圆的圆心为M，且圆M与直线PF2相切于点Q，则M(，0)，MQPF2，所以PF1MQ，所以，即，可得|PF1|，所以|PF2|2a，又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以(2a)24c2，即7e26e90，解得e，e(舍去)故选D.6已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点若OAB的面积为1，则p的值为_答案：解析：双曲线的两条渐近线方程为y2x，抛物线的准线方程为x，故A，B两点的坐标为(，p)，|AB|2p，所以SOAB2p1，解得p.7已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且与抛物线y2x交于A，B两点，若OAB(O为坐标原点)的面积为2，则椭圆C的方程为_答案：18(2019昆明模拟)F为双曲线1(ab0)的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为_答案： 解析：设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，l1：yx，l2：yx，由于kFA1，则FA的方程为yxc，由，可得A(，)，由，可得B(，)因为，所以，则b3a，即b29a2，所以c2a29a2，即e210，所以e.9设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解析】：(1)根据a2b2c2及题设知M，得2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.能力提升1(2019湘中名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|CD|，则双曲线离心率的取值范围为()A，) B，)C(1， D(1，【答案】B.【解析】将xc代入1得y，不妨取A(c，)，B(c，)，所以|AB|.将xc代入双曲线的渐近线方程yx，得y，不妨取C(c，)，D(c，)，所以|CD|.因为|AB|CD|，所以，即bc，则b2c2，即c2a2c2，即c2a2，所以e2.所以e，故选B.2(2017高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案：yx解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立方程，得110.由根与系数的关系得y1y2b2p.所以pp，所以双曲线的渐近线方程为yx.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.kAB.由，得kAB，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.3.如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M、N(点M在点N的下方)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANMBNM.【解析】：(1)设圆C的半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)因为|MN|3，所以r222，解得r2.所以圆C的方程为(x2)2.(2)证明：把x0代入方程(x2)2，解得y1或y4，即点M(0，1)、N(0，4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程组，消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.所以kANkBN.若kANkBN0，则ANMBNM.因为2kx1x23(x1x2)0，所以ANMBNM. 4已知椭圆C：1(ab0)