2018_2019学年高中数学导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2极大值与极小值学案苏教版.docx

3.3.2极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用(难点)2.掌握函数极值的判定及求法(重点)自 主 预 习探 新 知1函数极值的定义函数的极值极大值设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值极小值设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.2.求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值基础自测1判断正误：(1)函数f(x)有极值()(2)函数的极大值一定大于极小值()(3)若f(x0)0，则x0一定是函数f(x)的极值点()【解析】(1).f(x)在(，0)，(0，)上是减函数，故无极值(2).反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值(3).反例，f(x)x3，f(x)3x2，且f(0)0，但x0不是极值点【答案】(1)(2)(3)2函数yx的极大值为_【解析】y1，令y0得x21，x1.当x(，1)时，y0.当x(1,0)时，y0.yx在x1处取得极大值y2.【答案】2合 作 探 究攻 重 难求函数的极值求下列函数的极值：(1)y2x36x218x3；(2)y2x. 【导学号：95902226】思路探究f (x0)0只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在x0处取得极值【自主解答】(1)函数的定义域为R.y6x212x186(x3)(x1)，令y0，得x3或x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)y00y极大值57极小值7从上表中可以看出，当x 3时，函数取得极大值，且y极大值57.当x 1时，函数取得极小值，且y极小值7.(2)函数的定义域为(，0)(0，)，y222，令y0，得x2或x2.当x2时，y0；当2x0时，y0.即x2时，y取得极大值，且极大值为8.当0x2时，y0；当x2时，y0.即x2时，y取得极小值，且极小值为8.规律方法求函数极值的方法(1)求f(x)0在函数定义域内的所有根；(2)用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小区间、列表；(3)由f(x)在各小区间内的符号，判断f(x)0的根处的极值情况.跟踪训练1求函数yx44x35的极值【解】y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值极小值22故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.已知函数的极值求参数已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)求函数的极大值和极小值思路探究可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f(1)0，f(1)0，再由f(1)1，得到三个关于a，b，c的方程，联立可求得a，b，c的值【自主解答】(1)f(x)3ax22bxc，由x1是极值点，得又f(1)1，所以abc1. 联立，解得，经验证a，b，c的值符合题意(2)由(1)得f(x)x3x，所以f(x)x2(x1)(x1)，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)有极大值f(1)1；当x1时，f(x)有极小值f(1)1.规律方法已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，求常数a、b的值. 【导学号：95902227】【解】f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x30，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以不符合题意，舍去；而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.函数极值的综合应用探究问题1已知三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，若f(x)0的两个根是x1，x2，且x1x2，分别写出当a0和a0时函数f(x)的单调区间【提示】由题意可知f(x)a(xx1)(xx2)，当a0时，令f(x)0可得xx1或xx2，令f(x)0可得x1xx2，所以当a0时，函数f(x)的单增区间是(，x1)，(x2，)，单调减区间是(x1，x2)同理当a0时，函数f(x)的单增区间是(x1，x2)，单减区间是(，x1)，(x2，)2当a0时，分别判断当x和x时探究1中的三次函数f(x)的变化趋势是怎样的？当a0时呢？【提示】当a0时，若x，则f(x)，若x，则f(x)；当a0时，若x，则f(x)，若x，则f(x).3设a0，讨论探究1中的三次函数f(x)的图象和x轴交点的个数？【提示】因为a0，所以函数f(x)的单调增区间是(，x1)，(x2，)，单减区间是(x1，x2)所以f(x)的极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，显然f(x1)f(x2)，所以当f(x2)0或f(x1)0时，函数f(x)的图象和x轴只有1个交点；当f(x1)0或f(x2)0时，函数f(x)的图象和x轴有2个交点；当f(x1)0且f(x2)0时，函数f(x)的图象和x轴有3个交点已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围思路探究解(1)需要对参数a分类讨论解决(2)可根据在x1处取得极值的条件，解出a的值，进而求m的取值范围【自主解答】(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0时，对xR，有f(x)0，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，由f(x)0，解得x或x，由f(x)0，解得x，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)，f(x)的单调递减区间为(，)(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0.所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)知f(x)的单调性，可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1 ，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)193，f(3)171，结合f(x)的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知m的取值范围是( 3,1)规律方法应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3已知函数f(x)x34x4.试分析方程af(x)的根的个数【解】f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)由f(x)0得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2).当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示结合图象：当a或a时，方程af(x)有一个根当a时，方程af(x)有三个根当a或a时，方程af(x)有两个根构建体系 当 堂 达 标固 双 基1下列四个函数中：yx3；yx21；yx2；y2x 能在x0处取得极值的函数是_(填序号)【解析】均为单调函数，不存在极值，在x0处取得极值【答案】2下列结论：导数为零的点一定是极值点；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极小值；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值其中正确的是_. 【导学号：95902228】【解析】根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项，均错，选项正确【答案】3函数f(x)x33x21在x_处取得极小值【解析】f(x)3x26x3x(x2)，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)递减，当x(，0)或(2，)时，f(x)0，f(x)递增，在x2处函数取得极小值【答案】24函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图336所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有_个极小值点图336【解析】由题图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)0，即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(