2019版高考数学二轮复习限时检测提速练16直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题.docx

限时检测提速练(十六)直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题A组1(2018永州二模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P(0，1)，且与椭圆交于A，B两点，若2，求直线l的方程解：(1)依题意可设椭圆方程为1，2c4，e，a2，b2a2c24，椭圆C的方程为1(2)由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(2k21)x24kx60，且A0，则x1x2，x1x2，2，即(x1，1y1)2(x2，y21)，x12x2，消去x2并解关于k的方程得：k，l的方程为：yx12(2018江淮联考)已知抛物线C：y24x的焦点为F(1)若斜率为1的直线l过点F与抛物线C交于A、B两点，求|AF|BF|的值；(2)过点M(m,0)(m0)作直线l与抛物线C交于A、B两点，且0，求m的取值范围解：(1)依题意，F(1,0)；设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则直线l：yx1；联立则(x1)24x，则x26x10，则xAxB6；由抛物线定义可知，|AF|BF|xAxB28(2)直线l的方程为xtym，l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1y，x2y将l的方程代入抛物线的方程，化简得y24ty4m0，判别式16(t2m)0，y1y24t，y1y24m(x11，y1)，(x21，y2)，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)2y1y2(yy)1(y1y2)2y1y2(y1y2)22y1y21又0，m26m14t20恒成立，m26m14t2恒成立4t20，m26m10只需即可，解得32m32所求m的取值范围为(32，32)3(2018三湘教育联盟联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M(1)求曲线C的方程；(2)求证：0(1)解：由已知，动点P在直线y2上方，条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y1距离动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线故其方程为x24y(2)证明：设直线AB的方程为：ykx1，由得：x24kx40，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB4k，xAxB4，由x24y得：yx2，yx，直线AM的方程为：yxxA(xxA)直线BM的方程为：yxxB(xxB)得：(xx)(xxxAxxBx)，即x2k，将x代入得：yxxAxAxBx，yxAxB1，故M(2k，1)，(2k,2)，(xBxA，k(xBxA)，2k(xBxA)2k(xBxA)04(2018云南联考)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点， 点C在椭圆E上，且ABC面积的最大值为2(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点证明：直线OD平分线段MN (1)解：由题意得解得故椭圆E的方程为1(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(4，n)，线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0x1x2,2y0y1y2，由(1)可得F(1,0)，则直线DF的斜率为kDF，当n0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN当n0时，直线MN的斜率kMN点M，N在椭圆E上，整理得：0，又2x0x1x2,2y0y1y2，直线OP的斜率为kOP，直线OD的斜率为kOD，直线OD平分线段MNB组1(2018成都一检)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程解：(1)由题可知c，2，a2b2c2，a2，b1椭圆C的方程为y21(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立，得消去x可得(4m2)y22my3016m2480，y1y2，y1y2点B在以MN为直径的圆上，0(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，(m21)(m1)20，整理，得3m22m50，解得m1或m直线l的方程为xy10或3x5y302已知点M是椭圆C：1(ab0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(1，2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值(1)解：在F1MF2中，由|MF1|MF2|sin 60，得|MF1|MF2|由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)23|MF1|MF2|16，解得|MF1|MF2|4从而2a|MF1|MF2|4，即a2由|F1F2|4得c2，从而b2，故椭圆C的方程为1(2)证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y2k(x1)，由消去y，得(12k2)x24k(k2)x2k28k0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2从而k1k22k(k4)4当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1k24综上，k1k2为定值3(2018洛阳一模)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，过点P(2,0)的直线l1与抛物线E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线l2过点P且与抛物线E交于C，D两点(A，C在x轴的同一侧)，过点P作x轴的垂线与线段AC和BD分别交于M，N两点(1)已知a(1，y1)，b(8，y2)，求ab的值；(2)求证：当直线l1，l2的斜率存在时，点P始终为线段MN的中点(1)解：由抛物线E：y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)知p2，即y24x由题意知l1，l2的斜率均不为0，设直线AB的方程为xmy2，联立xmy2与y24x，消去x得y24my80，16m2320，y1y28，ab8y1y20(2)证明：设C(x3，y3)，D(x4，y4)，由(1)知y1y28，同理可得y3y48直线AC的斜率为，则直线AC的方程为yy1当x2时，点M的纵坐标yM同理可得，点N的纵坐标yN，yMyN0故当直线l1，l2的斜率存在时，点P始终为线段MN的中点4(2018齐齐哈尔二模)设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程解：(1)设抛物线方程为x22py(p0)，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F，p2，该抛物线的标准方程为x24y(2)由题知直线m的斜率存在，设其方程为ykx6，由消去y整理得x24kx240，显然，16k2960设P(x1，y1)，