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文档简介

课时作业50直线与圆锥曲线 基础达标1过椭圆1内一点P(3,1),求被这点平分的弦所在直线方程解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由于A、B两点均在椭圆上,故1,1,两式相减得0.又P是A、B的中点,x1x26,y1y22,kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.2.2019郑州入学测试已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,斜率为的直线l与椭圆C交于A,B两点,点P(2,1)在直线l的左上方若APB90,且直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求线段MN的长度解析:(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l:yxm,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,得消去y,化简整理,得x22mx2m240.则由(2m)24(2m24)0,得2mb0),右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形,且|AB1|AB2|,所以B1AB290,因此|OA|OB2|,得b.由c2a2b2得4b2a2b2,故a25b2,c24b2,所以离心率e.在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由题设条件SAB1B24得b24,所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0),B2(2,0)由题意知直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为xmy2,代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2,y1y2,又(x12,y1),(x22,y2),所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616,由PB2QB2,得0,即16m2640,解得m2.所以满足条件的直线l有两条,其方程分别为x2y20和x2y20.52019唐山五校联考在直角坐标系xOy中,长为1的线段的两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动, .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,当点M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积解析:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y)由 ,得(xm,y)(x,ny),所以得由|1,得m2n2(1)2,所以(1)2x2y2(1)2,整理,得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,知点M坐标为(x1x2,y1y2)由题意知,直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1,代入曲线E的方程,得(k22)x22kx10,则x1x2,x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上,知(x1x2)21,即1,解得k22.这时|AB|x1x2|,原点到直线AB的距离d,所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.62018天津卷设椭圆1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点),求k的值解析:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有,又由a2b2c2,可得2a3b.由已知可得|FB|a,|AB|b,由|FB|AB|6,可得ab6,从而a3,b2.所以,椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2)由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|,而OAB,所以|AQ|y2.由sinAOQ,可得5y19y2.由方程组消去x,可得y1.易知直线AB的方程为xy20,由方程组消去x,可得y2.由5y19y2,可得5(k1)3,两边平方,整理得56k250k110,解得k或k.所以k的值为或.能力挑战72018江苏卷如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点为F1(,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点若OAB的面积为,求直线l的方程解析:解法一(1)因为椭圆C的焦点为F1(,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为1(ab0)又点,在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则x0y03.所以直线l的方程为y(xx0)y0,即yx.由消去y,得(4x0y0)x224x0x364y00.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以(24x0)24(4x0y0)(364y0)48y0 (x02)0.因为x00,y00,所以x0,y01.因此,点P的坐标为(,1)因为三角形OAB的面积为,所以ABOP,从而AB.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2,所以AB2(x1x2)2(y1y2)21.因为x0y03,所以AB2,即2x045x01000,解得x0(x020舍去),则y0,因此P的坐标为,.则直线l的方程为yx3.解法二(1)由题意知c,所以圆O的方程为x2y23,因为点在椭圆上,所以2a4,所以a2.因为a2b2c2,所以b1,所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0,设直线l的方程为ykxm(k0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2(kxm)23,整理得(k21)x22kmxm230,因为直线l与圆O相切,所以(2km)24(k21)(m23)0,整理得m23k23,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得(kxm)21,整理得(4k21)x28kmx4m240,因为直线l与椭圆C相切,所以(8km)24(4k21)(4m24)0,整理得m24k21,所以3k234k21,因为k0,所以k,则m3,将k,m3代入(k21)x22kmxm230,整理得x22x20,解得x1x2,将x代入x2y23,解得y1(y1舍去),所以点P的坐标为(,1)设A(x1,kx1m),B(x2,kx2m),由知m23k23,且k0,因

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