安徽省2019年中考数学第四单元图形初步与三角形考点强化练16等腰、等边与直角三角形试题.docx

考点强化练16等腰、等边与直角三角形夯实基础1.(2018四川凉山)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以A、B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线MN交BC于点D,连接AD.若AD=AC,B=25,则C=()A.70B.60C.50D.40答案C解析由作图可知MN为线段AB的垂直平分线,AD=BD,DAB=B=25,CDA为ABD的一个外角,CDA=DAB+B=50.AD=AC,C=CDA=50.故选C.2.(2017浙江温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtABM较长直角边,AM=22EF,则正方形ABCD的面积为()A.12SB.10SC.9SD.8S答案C解析由题意可知EF=EH=HG=GF=S,4个白色的矩形全等,且矩形的长均为2S,宽为(2S-S),则直角三角形的短直角边长为S.由勾股定理得AB=BM2+AM2=S+8S=3S,所以正方形ABCD的面积为9S.3.(2018山东淄博)如图,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.43D.8答案B解析MNBC,ANM=ACB,NMC=MCB,CM平分ACB,MCB=MCN=12ACB,NMC=NCM,MN=NC.MN平分AMC,AMN=NMC=12AMC,AMN=12ACB=12ANM,A=90,AMN=30.AN=1,MN=2,NC=2,AC=3,B=AMN=30,BC=2AC=6.故选B.4.(2018江苏扬州)在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,CE平分ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC答案C解析ACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.故选C.5.(2018贵州遵义)如图,ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若CAE=16,则B为度.答案37解析AD=AC,E为CD的中点,DAC=2CAE=32,ADC=12(180-DAC)=74.BD=AD,B=12ADC=37.6.(2017江苏扬州)如图,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC,若BP=4 cm,则EC= cm.答案2+23解析根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可以得到DPE=A=60,DP=DA=43,易得EPC=30,PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23.7.(2018天津)如图,在边长为4的等边ABC中,D、E分别为AB、BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.答案192解析连接DE,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,DE是ABC的中位线,DE=2,且DEAC,BD=BE=EC=2,EFAC于点F,C=60,FEC=30,DEF=EFC=90,FC=12EC=1,故EF=22-12=3,G为EF的中点,EG=32,DG=DE2+EG2=192.8.(2017内蒙古呼和浩特)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.(1)证明AB,AC为等腰三角形的两腰,AB=AC.BD,CE分别是两腰上的中线,AE=AD.在AEC与ADB中,AE=AD,A=A,AC=AB,AECADB,BD=CE.(2)解四边形DEMN为正方形.导学号167341189.(2018浙江绍兴)数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35)例2等腰三角形ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40或70或100)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式:等腰三角形ABC中,A=80,求B的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设A=x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.解(1)当A为顶角时,B=50,当A为底角时,若B为顶角,则B=20,若B为底角,则B=80,B=50或20或80.(2)分两种情况:当90x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个.当0x90时,若A为顶角,则B=180-x2,若A为底角,则B=x或B=(180-2x),当180-x2180-2x且180-x2x且180-2xx,即x60时,B有三个不同的度数.综上,当0x90且x60,B有三个不同的度数.提升能力10.(2018四川绵阳)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,ACB的顶点A在ECD的斜边DE上,若AE=2,AD=6,则两个三角形重叠部分的面积为()A.2B.3-2C.3-1D.3-3答案D解析过A点作AFCE于点F,设AB与CD的交点为M,过M点作MNAC于点N.ECD为等腰直角三角形,E=45.AE=2,AD=6,AF=EF=1,CE=CD=DE2=1+3,CF=3,AC=AF2+CF2=2,ACF=30,ACD=60.设MN=x,ABC为等腰直角三角形,CAB=45,AN=MN=x,CN=MN3=33x,AC=AN+CN=x+33x=2,解得x=3-3,SACM=12ACMN=3-3.故选D.11.(2017安徽名校模拟)在ABC中,C=90,BC=3,AB=5,点D在ABC的边上,且AD=1,将ABC折叠,使点B落在点D处,折痕交边AB于点E,交另一边于点F,则BE=.答案2或157解析分两种情况讨论,情况一:当D在AB上时,则BD=AB-AD=4,由于B与D关于折痕对称,所以BE=DE=12BD=2;情况二:当D在AC上时,BE=157.12.(2018云南)在ABC中,AB=34,AC=5.若BC边上的高等于3,则BC边的长为.答案1或9解析设边BC上的高为AD.当边BC上的高AD在ABC的内部时,如图(1)所示,在RtABD中,由勾股定理得BD=AB2-AD2=(34)2-32=5,在RtACD中,由勾股定理得CD=AC2-AD2=52-32=4,所以BC=5+4=9.当边BC上的高AD在ABC的外部时,如图(2)所示,同理BD=5,CD=4,所以BC=5-4=1.13.(2018四川广安)下面有4张形状,大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:(1)画一个直角边为4,面积为6的直角三角形.(2)画一个底边为4,面积为8的等腰三角形.(3)画一个面积为5的等腰直角三角形.(4)画一个底边长为22,面积为6的等腰三角形.解如图所示.(1)直角边为4、3的直角三角形(2)底边为4,底边上的高为4的等腰三角形(3)直角边为10的等腰直角三角形(4)底边为22,底边上的高为32的等腰三角形创新拓展14.(2018湖北十堰)如图,RtABC中,AB=3,AC=62,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为.答案163解析作A关于BC的对称点A,连接AA,交BC于F,过A作AEAC于点E,交BC于点D,则AD=AD,此时AD+DE的值最小,就是AE的长.RtABC中,BAC=90,AB=3,AC=62,BC=32+(62)2=9,SABC=12ABAC=12BCAF,362=9AF,解得AF=22,AA=2AF=42.AFD=DEC=90,ADF=CDE,A=C,AEA=BAC=90,AEABAC,AAAE=BCAC,即42AE=962,AE=163,即AD+DE的最小值是163.故答案为163.15.如图,ACB和DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.(1)如图1,若CAB=CBA=CDE=CED=50.求证:AD=BE;求AEB的度数.(2)如图2,若ACB=DCE=120,CM为DCE中DE边上的高,BN为ABE中AE边上的高,试证明:AE=23CM+233BN.(1)证明CAB=CBA=CDE=CED=50,ACB=DCE=180-250=80.ACB=ACD+DCB,DCE=DCB+BCE,ACD=BCE.ACB和DCE均为等腰三角形,AC=BC,DC=EC.在ACD和BCE中,有AC=BC,ACD=BCE,DC=EC,ACDBCE(SAS),AD=BE.解ACDBCE,ADC=BEC.点A,D,E在同一直线上,且CDE=50,ADC=180-CDE=130,BEC=130.BEC=CED+AEB,且CED=50,AEB=BEC-CED=130-50=80.(2)证明ACB和DCE均为等腰三角形,且ACB=DCE=120,CDM=CEM=12(180-120)=30.CMDE,CMD=90,D