[经济学]第四章 根轨迹_ma.ppt

第四章 根轨迹法,4.4 根轨迹法分析,4.1 根轨迹法基本概念,4.2 绘制根轨迹图的基本规则,4.3 控制系统的根轨迹绘制,4.1根轨迹法基本概念,闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,根轨迹法基本概念,广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。,狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到。,闭环零、极点与开环零、极点间的关系,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,前向通道增益,开环系统根轨迹增益,前向通道零点,反馈通道零点,前向通道极点,反馈通道极点,m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),m个零点(m=f + l ),n个极点(n= q + h),3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。,1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；,2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关；,！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。,幅角条件和幅值条件,根轨迹方程,m个零点 n个极点 （nm）,！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值。,4.2绘制根轨迹图的基本规则,根轨迹的起点和终点,根轨迹分支数,根轨迹的连续性和对称性,实轴上的根轨迹,根轨迹的渐近线,根轨迹的分离点,根轨迹的起始角和终止角,根轨迹与虚轴的交点,闭环特征方程根之和与根之积,根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,幅值条件,根轨迹分支数,n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支,2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n m。,m条终止于开环零点（有限值零点)；,（nm）条根轨迹分支终止于（nm）个无限 远零点。,1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根 K变化(0到 ),n个根随着变化n条根轨迹。,根轨迹的连续性和对称性,根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。,闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。,！仅需先购画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。,如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。,实轴上的根轨迹,开环零点：z1,开环极点：p1、p2、p3、p4、p5,在实轴区段p2，p3上取试验点s1,每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；,s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0。,s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180；,？,根轨迹的渐近线,当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点。,沿着渐近线趋于无限远处，,渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。,渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，） ：,渐近线与实轴交点的坐标值：,证明,1）当k值取不同值时，a 有（nm）个值，而a不变；,2）根轨迹在s时的渐近线为 （nm）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。,根轨迹的分离点,分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。,分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。,3、重根法求解b,证明,由 解出b,分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）,会合（或分离）的根轨迹的条数,分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角,r重根,r1,含,两边求导,b,必要条件：!当解得多个s值时，其中k值为正实数时才有效。,b坐标值由分式方程解出,根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有,或,两式相除,或,即得,解出s1，即为分离点b,根轨迹的起始角和终止角,根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。,闭环特征方程根之和与根之积,系统闭环特征多项式,zi 开环零点,si闭环极点,pi开环极点,闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程 的系数关系：,1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K无关，是个常数， 且有,分别绘B=4、9、12、时闭环系统的根轨迹的大致形状。,4.3 控制系统的根轨迹绘制,一 单回路系统,二 参量根轨迹,控制系统开环传递函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。,以为参变量的根轨迹方程,0,不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇,根轨迹与虚轴交点,以为参变量的根轨迹方程,m个零点 n个极点 （nm）,“+”,“-”,“1”,三 正反馈系统的根轨迹,根轨迹的分支数 (相同) 根轨迹的起点和终点 (相同) 根轨迹的对称性 (相同) 实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。 根轨迹的渐近线： 根轨迹渐近线与实袖的交点 (相同) 根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为 根轨迹的会合点和分离点 (相同) 根轨迹的出射角和入射角 离开开环极点出射角 进入开环零点的入射角 根轨迹与虚轴的交点 (相同) 闭环极点的和与积 (相同),正反馈系统的根轨迹的基本规则,例,m个零点 n个极点 （nm）,很小,迟滞系统的根轨迹,4.5 控制系统的根轨迹分析,根轨迹图上希望闭环极点的位置,根轨迹图上希望闭环极点的位置,二阶系统的等Mp线（即等线）,二阶系统的等ts线,开环传递函数上增加极点,降低了系统的相对稳定性,增加开环极点的影响,开环传递函数上增加零点,提高了系统的相对稳定性,增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用,零极点对应的矢量幅角,附加提供一个超前角,“超前校正”,相当于附加零点的作用 (使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。),|zc|pc|,增加的极点相对靠近虚轴而起主导作用,附加提供一个滞后角,相当于附加极点的作用 (使根轨迹向右弯曲),|zc|pc|,开环偶极子,开环偶极子距离原点较远 极点pc 和零点zc 到较远的s点的矢量基本相等；幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消； 对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响，基本上不影响系