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中南大学现代远程教育课程考试(专科)复习题及参考答案高等数学一、填空题1函数的定义域是.解. 。 2若函数,则解. 3答案:1正确解法:4.已知,则_, _。由所给极限存在知, , 得, 又由, 知5.已知,则_, _。, 即, 6函数的间断点是。解:由是分段函数,是的分段点,考虑函数在处的连续性。因为 所以函数在处是间断的,又在和都是连续的,故函数的间断点是。7. 设, 则8,则。答案:或9函数的定义域为 。解:函数z的定义域为满足下列不等式的点集。的定义域为:且10已知,则 . 解令,则,11设,则 。 。12 设则 。解13. .解:由导数与积分互为逆运算得,.14.设是连续函数,且,则 .解:两边对求导得,令,得,所以.15若,则。答案: 16设函数f(x,y)连续,且满足,其中则f(x,y)=_.解 记,则,两端在D上积分有:,其中(由对称性),即 ,所以,17求曲线所围成图形的面积为 ,(a0) 解: 18.;解:令,则原幂级数成为不缺项的幂级数,记其各项系数为,因为,则,故.当时,幂级数成为数项级数,此级数发散,故原幂级数的收敛区间为.19的满足初始条件的特解为.20微分方程的通解为.21微分方程的通解为.22.设n阶方阵A满足|A|=3,则=|= .答案:23.是关于x的一次多项式,则该多项式的一次项系数是. 答案: 2;24. f(x)=是 次多项式,其一次项的系数是 。解:由对角线法则知,f(x)为二次多项式,一次项系数为4。25. A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC .26. 事件A、B相互独立,且知则. 解:A、B相互独立, P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627. A,B二个事件互不相容,则. 解: A、B互不相容,则P(AB)=0,P(AB)=P(A)P(AB)=0.828. 对同一目标进行三次独立地射击,第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解:设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”,则三次射击中恰有一次击中目标可表示为,即有 P() =P(A)=0.3629.已知事件 A、B的概率分别为P(A)0.7,P(B)0.6,且P(AB)0.4,则P() ;P() ;解: P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 30.若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为.解:P(A+B)=1P二、单项选择题1函数( ) A.是奇函数; B. 是偶函数;C.既奇函数又是偶函数; D.是非奇非偶函数。解:利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。2若函数,则( ) A.;B. ;C.;D. 。解:因为,所以则,故选项B正确。3设 ,则=( )A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于,得 将代入,得=正确答案:D4已知,其中,是常数,则( )(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案:C5下列函数在指定的变化过程中,()是无穷小量。A.; B.;C. ;D.解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以而A, C, D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。6下列函数中,在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( )(A); (B);(C); (D)解. , 故不选(A). 取, 则, 故不选(B). 取, 则, 故不选(D). 答案:C 7设,则在处()A连续且可导B连续但不可导C不连续但可导D既不连续又不可导解:(B),因此在处连续,此极限不存在从而不存在,故不存在8曲线在点(1,0)处的切线是( ) A B C D 解 由导数的定义和它的几何意义可知, 是曲线在点(1,0)处的切线斜率,故切线方程是 ,即正确答案:A9已知,则=( ) A. B. C. D. 6解 直接利用导数的公式计算: , 正确答案:B 10若,则( )。A B C D答案:D 先求出,再求其导数。11的定义域为( )ABC D解 z的定义域为个,选D。12.下列极限存在的是( )(A) (B) (C) (D)解A. 当P沿时,当P沿直线时,故不存在; B. ,不存在; C. 如判断题中1 题可知不存在; D. 因为,所以,选D13.若,在内( ).(A) (B)(C) (D)解:14设为奇函数,且时,则在上的最大值为( )AB C D解:(B)因为是奇函数,故,两边求导,从而,设,则,从而,所以在-10,-1上单调增加,故最大值为15函数 ( )(A)、有极大值8 (B)、有极小值8 (C)无极值 (D)有无极值不确定 解, ,为极大值 (A)15.设( ).(A)依赖于 (B)依赖于(C)依赖于,不依赖于 (D)依赖于,不依赖于解:根据周期函数定积分的性质有,17.曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为( ).(A) (B) (C) (D)解:所求旋转体的体积为故应选(B).18.设,则有( ).(A)(B)(C)(D)解:利用定积分的奇偶性质知,所以,故选(D).19下列不定积分中,常用分部积分法的是( )。A BC D答案:B。20设,则必有( )(A)I0 (B)I0 (C)I=0 (D)I0的符号位不能确定解: D: 21设f(t)是可微函数,且f(0)=1,则极限()( )(A)等于0 (B)等于 (C) 等于+ (D)不存在且非 C)解:由极坐标,原极限22.设函数项级数,下列结论中正确的是( ).(A)若函数列定义在区间上,则区间为此级数的收敛区间(B)若为此级数的和函数,则余项,(C)若使收敛,则所有都使收敛(D)若为此级数的和函数,则必收敛于解:选(B).23.设为常数,则级数( ).(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散(D)敛散性与有关解:因为,而收敛,因此原级数绝对收敛. 故选(A).24.若级数在时发散,在处收敛,则常数( ).(A)1 (B)-1 (C)2 (D)2解:由于收敛,由此知.当时,由于的收敛半径为1,因此该幂级数在区间内收敛,特别地,在内收敛,此与幂级数在时发散矛盾,因此.故选(B).25.的特解可设为( )(A) (B)(C) (D)解:C26.微分方程的阶数是指( )(A)方程中未知函数的最高阶数; (B)方程中未知函数导数或微分的最高阶数;(C)方程中未知函数的最高次数; (D)方程中函数的次数.解:B27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.(A) (B)(C) (D)解:C28.A、B均为n阶可逆矩阵,则A、B的伴随矩阵=( ).(A); (B); (C) (D); 解答:D 29. 设A、B均为n阶方阵,则必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解:正确答案为(C)30.A,B都是n阶矩阵,则下列各式成立的是 ( )(A) (B) (C) (D)解答:B 31. 在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为()(A)(B)(C)(D)解 由事件间的关系及运算知,可选(A)32. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为()(A)(B)(C)(D)解 基本事件总数为,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为=5,故P(A)=,故应选(D)。33. 已知,且,则下列选项成立的是()(A);(B)(C)(D)解 由题可知A1、A2互斥,又0P(B)1,0P(A1)1,0P(A2)1,所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故应选(C)。三、解答题1.设函数 问(1)为何值时,在处有极限存在?(2)为何值时,在处连续?解:(1)要在处有极限存在,即要成立。因为所以,当时,有成立,即时,函数在处有极限存在,又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时可以取任意值。(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是 于是有,即时函数在处连续。2已知,试确定和的值解. ,即,故3设,求的间断点,并说明间断点的所属类型解. 在内连续, , , 因此, 是的第二类无穷间断点; , 因此是的第一类跳跃间断点.4求方程中是的隐函数的导数(1),解:方程两边对自变量求导,视为中间变量,即 整理得 (2)设,求,;解:,5设由方程所确定, 求. 解: 设, , , , ,. 6设函数在0,1上可导,且,对于(0 ,1)内所有x有证明在(0,1)内有且只有一个数x使 .7.求函数的单调区间和极值.解 函数的定义域是 令 ,得驻点, -2 0 + 0 - 0 + 极大值极小值故函数的单调增加区间是和,单调减少区间是及,当-2时,极大值;当0时,极小值.8.在过点的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小.解: 设平面方程为, 其中均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为, 且, 令, 则由, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为, 且.9求下列积分 (1)解:极限不存在,则积分发散.(2)解是D上的半球面,由的几何意义知I=V半球=(3) ,D由 的围成。解关于x轴对称,且是关于y的奇函数,由I几何意义知,。4判别级数(常数)的敛散性. 如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解:由,而,由正项级数的比较判别法知,与同时敛散.而收敛,故收敛,从而原级数绝对收敛.4判别级数的敛散性. 如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解:记,则.显见去掉首项后所得级数仍是发散的,由比较法知发散,从而发散. 又显见是Leibniz型级数,它收敛. 即收敛,从而原级数条件收敛.4求幂级数在收敛区间上的和函数:解:,所以.又当时,级数成为,都收敛,故级数的收敛域为.设级数的和函数为,即.再令,逐项微分得,故,又显然有,故5求解微分方程 (1) 的所有解.解 原方程可化为,(当),两边积分得,即为通解。当时,即,显然满足原方程,所以原方程的全部解为及。(2) 解 当时,原方程可化为,令,得,原方程化为,解之得;当时,原方程可化为,类似地可解得。综合上述,有。(3) 解 由公式得 。三、求解下列各题1 计算下列行列式:(.2),解: (3) 解: 3设矩阵A,B满足矩阵方程AX B,其中, , 求X 解法一:先求矩阵A的逆矩阵因为 所以 且 解法二: 因为 所以 4 设矩阵 试计算A-1B解 因为 所以 且 2设.(1)若,求;(2) 若,求;(3) 若,求.解:(1) P(B)=P(B)P(AB) 因为A,B互斥,故P(AB)=0,而由已知P(B)= P(B)=P(B)=(2) P(A)=,由AB知:P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=(3) P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=3

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