2020版高考数学复习导数及其表示第2节（第2课时）利用导数研究函数的极值、最值习题理新人教A版.docx

第2课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数解决函数的极值问题多维探究角度1根据函数图象判断函数极值【例11】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.答案D规律方法由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例12】 (2019哈尔滨模拟)已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a(x0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.规律方法运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数yf(x)的定义域，再求其导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例13】 已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)图象的过点P(0，1)的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)mx存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，且f(x).设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为yxln x01.把点P(0，1)代入切线方程，得ln x00，x01.过点P(0，1)的切线方程为yx1.(2)因为g(x)f(x)mxln xmx(x0)，所以g(x)m，令h(x)mx2xm，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.故只需满足即可，解得0m.规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2019广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0得a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.e20)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.解(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0).(2)y，令y0得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增.若c0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x2时，f(x)取得最大值80，则V4.体积最大值为4 cm3.答案4思维升华1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.易错防范1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数yf(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(1，3)为函数yf(x)的递增区间B.(3，5)为函数yf(x)的递减区间C.函数yf(x)在x0处取得极大值D.函数yf(x)在x5处取得极小值解析由函数yf(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，)，所以f(x)在x1，5取得极小值，在x3取得极大值，故选项C错误.答案C2.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则()A.a1C.a D.a0时，ex1，所以aex0，g(x)6x22x1的200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.答案A5.(2019安庆二模)已知函数f(x)2ef(e)ln x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e1 B. C.1 D.2ln 2解析由题意知，f(x)，f(e)2f(e)，则f(e).因此f(x)，令f(x)0，得x2e.f(x) 在(0，2e)上单调递增，在(2e，)上单调递减.f(x)在x2e处取极大值f(2e)2ln(2e)22ln 2.答案D二、填空题6.函数f(x)xex，x0，4的最大值是_.解析f(x)exxexex(1x)，令f(x)0，得x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值.答案7.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小值是_.解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当m1，1时，f(m)minf(0)4.答案48.若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值.解(1)由f(x)aln xbx2(x0)，得f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)由(1)知，f(x)ln xx2，则f(x)x，当xe时，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得1xe，f(x)在上单调递增；在(1，e上单调递减，f(x)maxf(1).10.(2018天津卷选编)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.(1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若d3，求f(x)的极值.解(1)由已知，得f(x)x(x1)(x1)x3x，故f(x)3x21.因此f(0)0，f(0)1，又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)，故所求切线方程为xy0.(2)由已知得f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)39(xt2)x33t2x2(3t9)xt9t2.故f(x)3x26t2x3t9.令f(x)0，解得xt2，或xt2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极大值为f(t2)()39()6；函数f(x)的极小值为f(t2)()396.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019郑州质检)若函数yf(x)存在n1(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数.已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A.2折函数 B.3折函数C.4折函数 D.5折函数解析f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或ex3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点.又e23(2)24.函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.答案C12.若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_.解析因为f(x)的定义域为(0，)，又因为f(x)4x，所以由f(x)0解得x，由题意得解得1k0，当t(2，8)时，V(t)0).(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.解(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，).所以g(x)2a.又a0，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递减.函数yg(x)的单调递增区间为，单调递减区间为